Question

2. La figura adjunta muestra un panel solar triangular, ubicado estratégicamente en una esquina de la azotea, de una edificación. Dicho panel debe ser recubierto por un aditivo especial, se dispone de 5 m2 de dicho aditivo. ¿Será suficiente? Justifique.

Answer 1

No es suficiente el aditivo especial disponible, ya que el área del panel solar (9,8 m²) es superior a lo que se puede cubrir (5 m²).

Explicación paso a paso:

El panel solar, mostrado en la figura anexa, puede verse como un triángulo sobre un plano inclinado con vértices:  A (0, 0, 4)  B (2, 0, 0)  y  C (0, 4, 0)

El área de un triángulo en el espacio tridimensional se puede hallar calculando el módulo del vector producto vectorial de dos de los vectores que forman los lados del triángulo, dividido entre dos.

Vamos a fijar el punto A como punto inicial de los vectores que marcan los lados AB y AC, entonces hallamos las componentes de estos vectores por diferencia entre el punto final y el inicial:

$\overrightarrow{AB}~=~(2~-~0)i~+~(0~-~0)j~+~(0~-~4)k~=~2i~-~4k$

$\overrightarrow{AC}~=~(0~-~0)i~+~(4~-~0)j~+~(0~-~4)k~=~4j~-~4k$

Calculamos el producto cruz o producto vectorial de los vectores obtenidos, el cual llamaremos vector D:

$\overrightarrow{D}~=~\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}~=~\left|\begin{array}{ccc}i&2&0\\j&0&4\\k&-4&-4\end{array}\right|\qquad\Rightarrow$

$\bold{\overrightarrow{D}~=~16i~+~8j~+~8k}$

La mitad del modulo de este vector D será el valor del área del triángulo

$\acute{A}rea~=~\left|\left|\dfrac{\overrightarrow{D}}{2}\right|\right|~=~\dfrac{\sqrt{(16)^{2}~+~(8)^{2}~+~(8)^{2}}}{2}\qquad \Rightarrow$

$\bold{\acute{A}rea~=~4\sqrt{6}~\approx~9,8~m^{2}}$

Se dispone de aditivo especial para cubrir 5 m², por lo que se concluye que no es suficiente el aditivo especial disponible, ya que el área del panel solar (9,8 m²) es superior a lo que se puede cubrir.