Question

el diseño de un acueducto en una gran ciudad por los accidentes topográficos se tiene proyectado en tres tramos dados por las siguientes funciones.

se pide determinar los valores se a y b que hacen que la línea del acueducto sea continua
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Answer 1

La función f(x) es continua en    x  =  1    y    x  =  5    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  -51/2    y    b  =  59/2. De esta forma se garantiza que la línea del acueducto es continua.

Explicación paso a paso:

Una función f(x) es continua en un valor dado    x  =  α    si se cumple que:

$\bold{f(\alpha)~=~\lim_{x\to \alpha}f_(x)}$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.

Ya que    f(1)  y  f(5)    están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR    x  =  1

1.-    f(1)  =  3(1)  +  1  =  4

$\bold{2.-}~\begin{cases}\bold{\lim_{x\to\ 1^{-}}(3x~+~1)~=~4}\\ \bold{\lim_{x\to\ 1^{+}}(ax~+~b)~=~a~+~b}\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$\bold{a~+~b~=~4}$

VALOR    x  =  5

1.-    f(5)  =  -4(5)2  +  2  =  -98

$\bold{2.-}~\begin{cases}\bold{\lim_{x\to\ 5^{-}}(ax~+~b)~=~5a~+~b}\\ \bold{\lim_{x\to\ 5^{+}}(-4x^2~+~2)~=~-98}\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$\bold{5a~+~b~=~-98}$

Con las ecuaciones en el paso 3 de cada valor, construimos un sistema:

a  +  b  =  4

5a  +  b  =  -98

Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por (-1) y sumamos, obteniendo:

4a  =  -102        ⇒        a  =  -51/2        ⇒       b  =  59/2

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  1  se obtiene que el límite vale  4,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  5  se obtiene que el límite vale  -98,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

La función f(x) es continua en    x  =  1    y    x  =  5    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  -51/2    y    b  =  59/2. De esta forma se garantiza que la línea del acueducto es continua.