Question

El perímetro de un rectángulo es de 492 m y su diagonal forma con la base un ángulo cuya cotangente es 1,05. Calculé dicha diagonal(en m).

Answer 1

La diagonal del rectángulo mide 174 metros

Solución

Nos dicen que el perímetro de un rectángulo es de 492 metros

Donde su diagonal forma con la base un ángulo cuya cotangente es igual a 1.05

Se pide hallar la diagonal del rectángulo en metros

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos

Pudiendo decir

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (Base\ + \ Ancho) }}$

Luego llamaremos variable b a su base

Y a su ancho variable a

Al conocer el valor del perímetro del rectángulo que es de 492 metros

Podemos plantear

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2\ Base\ + \ 2\ Ancho }}$

$\boxed{\bold { 2\ Base\ + \ 2\ Ancho = Perimetro \ Rectangulo }}$

$\boxed {\bold {2b \ +\ 2a = 492 \ m }}$

$\large\boxed {\bold {2a \ +\ 2b = 492 \ m }}$           $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego sabemos que la diagonal del rectángulo forma con la base un ángulo cuya cotangente es 1.05

Si la cotangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto al ángulo

Podemos plantear

$\boxed {\bold {cot( \alpha ) = \frac{cateto \ adyacente }{cateto \ opuesto} }}$

$\boxed {\bold {cot( \alpha ) = \frac{base }{altura} }}$

$\boxed {\bold { 1.05 = \frac{b }{a} }}$    

$\large\boxed {\bold {b = 1.05 \ . \ a } }$    $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\boxed {\bold {b = 1.05 \ . \ a } }$

$\large\textsf{ En Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {2a \ +\ 2b = 492 \ m }}$

$\boxed {\bold {2\ (a \ +\ b ) = 492 \ m }}$

$\boxed {\bold {\not 2\ (a \ +\ b ) = \not 2 \ . \ 246 \ m }}$

$\boxed {\bold { (a \ +\ b ) = 246 \ m }}$

Si $\bold {b= 1.05 \ . a }$

$\boxed {\bold { a \ +\ 1.05 \ a = 246 \ m }}$

$\boxed {\bold { 2.05 \ a = 246 \ m }}$

Resolvemos para a (ancho)

$\boxed {\bold { a = \frac{ 246 \ m }{ 2.05 } }}$

$\large\boxed {\bold { a = 120\ m }}$

El ancho del rectángulo es de 120 metros

Hallamos la base del rectángulo

Reemplazando

$\large\textsf{ En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {b = 1.05 \ . \ a } }$

Reemplazando el valor hallado para a que hallamos en el paso anterior

$\boxed {\bold {b = 1.05 \ . \ 120 \ m } }$

$\large\boxed {\bold { b = 126\ m }}$

La base del rectángulo es de 126 metros

Estamos en condiciones de determinar la diagonal del rectángulo

Pero primero verificaremos el perímetro

Verificación

Reemplazamos con el valor del perímetro dado y los valores hallados

$\boxed{\bold { 492 \ m = 2 (126 \ m \ + \ 120 \ m ) }}$

$\boxed{\bold { 492 \ m = 2 (246 \ m ) }}$

$\boxed{\bold { 492 \ m = 492 \ m }}$

Se cumple la igualdad

Hallamos la diagonal del rectángulo

En el rectángulo si trazamos su diagonal este queda dividida en dos triángulos rectángulos iguales o congruentes

En donde el ancho y la base  serían los catetos, y la diagonal la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Luego

Para hallar la diagonal del rectángulo  aplicamos el Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} = hipotenusa^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Donde emplearemos la notación habitual para los triángulos rectángulos donde "a" y "b" son los catetos y "c" la hipotenusa

Llamaremos "a" al ancho del rectángulo

$\large\textsf{Ancho = a = 120 m }$    

Llamaremos "b" a la base del mismo

$\large\textsf{Base = b = 126 \ m }$

Y a su diagonal "c"

$\large\textsf{Diagonal = c }$ que es nuestra incógnita-

Aplicando el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = (120 \ m)^{2} \ + \ (126 \ m)^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 14400 \ m^{2} \ + \ 15876 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 30276 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{30276 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{30276 \ m^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c = 174 \ metros }}$

La diagonal del rectángulo mide 174 metros