Question

Un móvil describe una trayectoria circular de 3 m de radio con una velocidad de 10 m/s, frena con una aceleración constante y se detiene cuando ha recorrido 80 m.
Calcular:
a) tiempo que tarda en parar;
b) la aceleración angular de frenado;
c) el número de vueltas que da hasta parar, así como la posición en que lo hace ;
d) el módulo, dirección y sentido de su aceleración 1 s antes de parar

Answer 1

Respuesta:

a) 16 s

b) -0,2083 rad/s^2

c) 4,24 vueltas

  El móvil se para a 1527,89º de su posición inicial o, lo que es lo mismo,    a 87,89º de su posición inicial.

d)  Módulo: 0,625

Dirección y sentido: Ver imagen

Explicación:

Relación entre velocidad lineal, velocidad angular y radio:

$v=\omega \cdot r$

Velocidad angular inicial:

$\omega=\frac{v}{r}=\frac{10 ~m/s}{3~m}= 3,33 ~ rad/s$

Longitud de la circunferencia:

$L=2\pi r=2\cdot \pi \cdot 3 =18,85 ~ m$

Si ha recorrido 80 m, las vueltas que ha dado:

$\frac{80 ~m}{18,85 ~m/vuelta}=4,24 ~ vueltas$

Ha dado 4,24 vueltas hasta parar

Ángulo:

$4,24 vueltas \cdot \frac{2\pi ~ radianes}{1 ~ vuelta}=26,67 ~ radianes$

$26,67 ~ rad \cdot \frac{360^{\circ}}{2\pi ~ rad}=1527,89^{\circ}$

El móvil se para a 1527,89º de su posición inicial o, lo que es lo mismo, a 87,89º de su posición inicial.

Ecuaciones de un movimiento circular uniformemente acelerado:

$\theta_f=\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 ~~~~~~~(1) \\\\\omega_f=\omega_0+\alpha t ~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Nos dicen que $\theta_f=26,67 ~ rad$; $\omega_0=3,33 ~ rad/s$; $\omega_f=0 ~ rad/s$;

Sustituímos estos datos en (2):

$0=3,33 + \alpha t \rightarrow t=-\frac{3,33}{\alpha}$

Sustituimos en (1):

$26,67=0+3,33\cdot \left(-\frac{3,33}{\alpha} \right) + \frac{1}{2} \alpha \left( - \frac{3,33}{\alpha} \right)^2$

Operamos:

$26,67 = -\frac{3,33^2}{\alpha}+\frac{1}{2}\frac{3,33^2}{\alpha}$

$26,67= -\frac{1}{2}\frac{3,33^2}{\alpha} \rightarrow \alpha = -\frac{3,33^2}{2\cdot 26,67}=-0,2083 ~ rad/s^2$

La aceleración angular es -0,2083 rad/s^2

Substituimos este dato en $t=-\frac{3,33}{t}=-\frac{3,33 ~ rad/s}{0,2083 ~rad/s^2}= 16 ~ s$

Tarda 16 s en parar

d)

Nos piden la aceleración tangencial, no la angular.

Podemos obtenerla de $a=\alpha \cdot r$

Su módulo: $|a|=0,2083\cdot 3 = 0,625 ~ m/s^2$

El módulo de la aceleración tangencial es 0,625 m/s^2

Vamos a ver en qué posición está en t=15 s (un segundo antes de parar)

Cogemos la ecuación (1) y substituímos:

$\theta_f=0+3,33 \cdot 15+ \frac{1}{2}\cdot(-0,2803)\cdot 15^2=26,5625 ~ rad$

Lo pasamos a grados:

$26,5625 ~ rad \cdot \frac{360^{\circ}}{2\pi ~ rad}=1521,92^{\circ}$

O, lo que es lo mismo, 81'92 º

La dirección y sentido de la aceleración:

(Ver imagen)