Question

ayudaaa con este limite porfa!! Limx→π/4 (tanx-1)(se2x)

Answer 1

Bueno, primero veamos el tipo de maravillosa indeterminación que nos va salir...y pondremos cara de sorprendidos....

pero antes de, estás de acuerdo con lo siguiente:

$\frac{ \pi }{4} ( \frac{180 ^{o} }{ \pi } )=45 ^{o}$ es lo mismo verdad..solo transformé de radianes a grados..y también voy a dejar algunas cosas que vamos a utilizar

$sin( \frac{ \pi }{2} )=sin(90)=1 \\ cos( \frac{ \pi }{4} )=cos(45)= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ Ademas: \\ sec(x)= \frac{1}{cos(x)} \\ sec ^{2} (x)= \frac{1}{cos ^{2}(x) }$
$tan( \frac{ \pi }{4} )=tan(45)=1$
$cos( \frac{ \pi }{2} )=cos(90)=0$

Éstas cosas debes sabértelas...ahora si..

$\lim_{x \to \( \frac{ \pi }{4} } (tan(x)-1)(sec(2x))=(tan(x)-1)( \frac{1}{cos(2x)} )= \frac{tan(x)-1}{cos(2x)} ...= \\ \\ ...= \frac{tan(45)-1}{cos(2 \frac{ \pi }{4} )} = \frac{1-1}{cos( \frac{ \pi }{2} )} = \frac{0}{0}$

:O¡..entonces ya sabemos que es lo que vamos usar.

El teorema de L`Hopital que nos dice lo siguiente

1.Tienes una función del tipo $\frac{f(x)}{g(x)}$?...sí¡¡
2.Tienes alguna de éstas indeterminaciones: $\frac{0}{0} ; \frac{ \infty}{\infty}$ ...sí¡¡
3. Ya te cansaste de intentarlo y no te sale?..L`Hopital nos conocía bien..:D

si se cumple TODAS, entonces podemos aplicar ésta regla...debemos derivar el numerador y también el denominador....pero no es UNA DERIVADA DE COCIENTE¡¡..cuidado¡¡...derivo arribo y derivo abajo...y ese nuevo resultado...probaremos para obtener el límite, en caso de que aún nos quede una indeterminación después de aplicar éste teorema...volvemos aplicarlo si cumple con las condiciones que dijimos...

Ahora vamos a derivar el numerador y el denominador, éstas son derivadas que tienes que saberlas...

$f(x)=tan(x) +1\\ f'(x)=sec ^{2} (x) \\ \\ g(x)=cos(2x)\\ f'(x)=(-sin(2x))2 \\ f'(x)=-2sin(2x)$

Ahora si intentemos obtener el límite

$\lim_{x \to \( \frac{ \pi }{4} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{sec ^{2}(x) }{-2sin(2x)} = \frac{ \frac{1}{cos ^{2}(x) } }{-2sin(2x)} = \frac{1}{cos ^{2}(x)(-2sin(2x)) } =... \\ \\ ...=- \frac{1}{2sin(2x)cos ^{2}(x) }=- \frac{1}{2sin(2 \frac{ \pi }{4} )(cos(45)) ^{2} } = -\frac{1}{2sin(90)(cos(45)) ^{2} } =... \\ \\ ...=-\frac{1}{2(1)( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) ^{2} } = -\frac{1}{2( \frac{2}{4} )} =-1$

Y ese es el límite de esa función...no es necesario hacer así como hice..era solo para que puedas ver paso por paso...y no me anden preguntando de donde aparece...eso...jaja..ok estoy tenso...

eso sería todo ...y si tienes alguna pregunta me avisas