Respuestas
¿Cómo se factoriza una ecuación cuadrática?
Podríamos pensar en la siguiente analogía: Factorizar una ecuación en componentes lineales equivale a una proceso de destilación de un compuesto químico en los elementos que lo constituyen. Una vez separados es más fácil trabajar con ellos.
Tenemos la siguiente ecuación cuadrática ya factorizada. ¿Cómo la resolvemos.
(x + 1)(x - 2) = 0
La expresión nos dice que el producto de los dos términos lineales debe ser cero. Pero, ¿en qué casos el producto de dos números es cero? ¡Claro, cuando uno de ellos o ambos son cero!
¡Esa es la clave para resolverla?
Así que basta igualar cada factor a cero, lo que nos lleva a tener dos ecuaciones de primer grado facilísimas. Por esta razón, en la forma canónica la ecuación se iguala a cero. Al resolverlas obtenemos las dos soluciones de la cuadrática.
¿Ves que sencillo? Antes de aprender a encontrar los dos factores lineales reforcemos la forma en que se resuelven las ecuaciones cuadráticas cuando ya están factorizadas.
Aprendamos a factorizar
Para que percibas con claridad las reglas que se siguen para factorizar una ecuación cuadrática y el aprendizaje de ellas perdure, te proponemos hacer el proceso inverso. Es decir, multiplicar los dos factores lineales de las ecuaciones que acabas de resolver y analizar la relación con los coeficientes de la función cuadrática que se obtiene de dicha multiplicación.
Veamos con el primer ejemplo cómo se realiza la multiplicación completa. Recuerda que cada uno de los términos del primer factor debe multiplicar a los dos términos del segundo.
Analiza lo siguiente: ¿Cómo se obtuvo el +6? ¿De dónde procede el –5 que multiplica a x? Recuerda las leyes de los signos para la suma y para la multiplicación de números enteros que se revisaron en el curso propedéutico de Matemáticas.
De manera análoga, obtenemos la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 escrita en la forma canónica en cada uno de los otros cuatro ejemplos que habíamos trabajado. Observa los resultados en cada caso.
Ecuación factorizada
(x+p)(x+q)=0
Ecuación sin factorizar
ax2+bx+c=0
1) (x-3)(x-2)=0
x2-5x+6=0
2) (x-6)(x+1)=0
x2-5x-6=0
3) (x-5)(x+2)=0
x2-3x-10=0
4) (x-1)(x-1)=0
x2-2x+1=0
5) (x-2)(x+2)=0
x2-4=0
¿Ya encontraste qué relación hay entre c y los dos valores numéricos, p y q, de los dos factores? ¿Puedes decir cómo se relaciona b (el coeficiente de x) con p y q?
Establecemos relaciones para factorizar
Seguramente te diste cuenta que el término independiente c de la ecuación escrita en la forma canónica es el producto de los valores numéricos p y q que aparecen en los binomios de la ecuación factorizada. Mientras que b es la suma algebraica (es decir la suma considerando signos) de p y q. como podemos ver a continuación:
Con estas relaciones, se puede facilitar la multiplicación, por ejemplo:
La ecuación factorizada (x-3)(x+1)=0 fácilmente se convierte en:
Pero lo más importante es que estas relaciones permiten factorizar una ecuación de segundo grado escrita en la forma canónica y resolverla a través de dos ecuaciones de primer grado como ya aprendiste hacerlo. ¿Estás listo para factorizar?
Veamos un primer ejemplo. Tenemos la ecuación x2-x-2=0 en donde c= –2 y b= –1. Queremos escribirla factorizada de la siguiente forma (x+p)(x+q)=0. Hay que encontrar p y q, de modo que (p)( q)= –2 y p + q= –1.
Veamos todas las opciones en las que el producto de dos enteros nos da –2, y analicemos en cada una cuál es su suma. Tenemos:
¡La primera opción es la que buscamos! Ya que (–2) (1)=–2 y –2+ 1= –1. Así, tenemos:
x2-x-2=(x-2)(x+1)=0 ¡Y ya podemos resolverla!
Sigamos factorizando
Resolvamos la ecuación x2+5x-6=0. Para factorizarla, buscamos dos números cuyo producto sea –6 y que al sumarlos tengamos +5. Analicemos las opciones:
Así los números que buscamos son 6 y –1. Por lo que la ecuación queda factorizada como: x2+5x-6=(x+6)(x-1)=0 . Para resolverla igualamos cada factor a cero y despejamos x de cada ecuación lineal:
De hecho al ver que la segunda opción era la correcta, pudimos haber omitido las dos restantes. Quisimos hacer para ti el análisis completo de todas las posibilidades. Con un poco de práctica, cuando el término independiente es un número que no tiene muchos divisores, incluso mentalmente puedes encontrar los números que te sirven para la factorización.