Question

Resuelva la siguiente derivada
xseny+ycos3x=5

Answer 1

Tu ejercicio es el siguiente

$xsin(y)+ycos(3x)=5$

vamos a derivar "y" con respecto a "x", es decir derivamos "y"..normalmente como sabemos....y cuando nos encontremos con algo que tenga "x"...vamos a derivarlo normalmente pero vamos a mutiplicarle por su derivada....
tenemos dos productos...vamos a derivar a parte cada uno...

$(xsin(y))'=(x)'(sin(y))+(x)(sin(y))' \\ (1)(x')sin(y)+xcos(y)$

mira que derivamos "x"..normalmente...nos queda "1"...pero debemos aumentar su derivada...el otro no hay problema...

ahora vamos a derivar el otro producto que dejamos al comienzo

$(ycos(3x))'=(y)'(cos(3x))+(y)(cos(3x))' \\ 1(cos(3x))+y(-sin(3x))(3)(x'))$

Mira el primero no hay problema...para el segundo tuvimos que usar la cadena...primero derivamos los más superficial...luego derivamos el "3x"..y nos quedó "3"...pero demos aumentar la derivada de "x"..

y finalmente la derivada del último término que es una constante nos da cero...

uniendo todo

$(1)(x')sin(y)+xcos(y)+1(cos(3x))+y(-sin(3x))(3)(x'))=0 \\ x'(sin(y))+xcos(y)+cos(3x)-3xsin(3x)x'=0$

ahora estás de acuerdo que esa apóstrofe significa "derivada de y respecto de "x", entonces agrupemos todo lo que tenga "x" derivada

$x'(sin(y))+xcos(y)+cos(3x)-3xsin(3x)x'=0 \\ x'(sin(y))-3xsin(3x)x'+xcos(y)+cos(3x)=0 \\ x'(sin(y)-3xsin(3x))+xcos(y)+cos(3x)=0 \\ \frac{dy}{dx} (sin(y)-3xsin(3x))=-xcos(y)-cos(3x) \\ dy(sin(y)-3xsin(3x))=dx(-xcos(y)-cos(3x))$

Solo hemos jugado con la posición de los términos agruparlos....ésta es una ecuación diferencial...que si sacamos la integral...nos va a quedar la expresión de donde salimos....

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas