Relaciona correctamente lasDeterminar los valores de k para que la recta L:3x–2y+k=0 sea tangente a la circunferencia C:x2+y2–4x+6y–39=0
Respuestas
Respuesta:
k = 14
Explicación paso a paso:
Buscamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta. Para ello usamos la fórmula:
d = Ι Ax₁ + By₁ + CΙ / √A²+B²
La recta es 3x -2y + k = 0 y por lo tanto A = 3; B = -2; C = k.
x₁ e y₁ son las coordenadas del centro de la circunferencia. Para hallarlo debemos completa los cuadrados:
x² + y² - 4x + 6y - 39 = 0
(x² - 4x + 4) - 4 + (y² + 6y + 9) - 9 = 39
(x-2)² + (y+3)² = 39 + 4 + 9
(x-2)² + (y+3)² = 52
El centro es (2;-3) y el radio √52
Reemplazamos:
d = Ι 3.2 + (-2). (-3) + kΙ / √3² + (-2)²
d = (12 + k)/√13
Pero la distancia es igual al radio, entonces:
(12+k)/√13 = √52
12 + k = √52 . √13
12 + k = √676
12 + k = 26
k = 26 - 12
k = 14
Respuesta:
k = { 14; -38}
Explicación paso a paso:
Buscamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta. Para ello usamos la fórmula:
d = Ι Ax₁ + By₁ + C Ι / √A²+B²
(donde (x₁ ; y₁) es el centro de la circunferencia)
La recta es 3x -2y + k = 0 y por lo tanto A = 3; B = -2 y C = k.
Como x₁ e y₁ son las coordenadas del centro de la circunferencia. Para hallarlas debemos completa los cuadrados:
x² + y² - 4x + 6y - 39 = 0
(x² - 4x + 2²) - 2² + (y² + 6y + 3²) - 3² = 39
(x-2)² + (y+3)² = 39 + 4 + 9
(x-2)² + (y+3)² = 52
El centro es (2;-3) y el radio √52
Reemplazamos:
d = Ι 3.2 + (-2). (-3) + k Ι / √3² + (-2)²
d = Ι 12 + k Ι/√13
Pero la distancia es igual al radio, entonces:
Ι 12+k Ι /√13 = √52 (recuerda que el valor absoluto te entrega dos valores el positivo y el negativo no puedes obviar ninguno de los dos a menos que el problema te lo especifique)
12 + k = √52 . √13 y 12 + k = - √52 . √13
12 + k = √676 12 + k = - √676
12 + k = 26 12 + k = -26
k = 26 - 12 k = -26 - 12
k = 14 k = -38