Límites
La población de peces en un criadero se comporta de acuerdo con la siguiente
función:
f(t)=(18t + 12)/(2t + 2)
donde f(t) es la población en miles de peces y t es el tiempo en años.
a. ¿Cuál es la población inicial de peces en el criadero?
b. ¿Cuál será la población cuando el tiempo tienda a infinito?
ontian
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Problemas Límites y continuidad.
Límites.
La población de peces en un criadero se comporta de acuerdo con la siguiente función:
f(t) = (18t+12)/(2t+2)
donde f(t) es la población en miles de peces y t es el tiempo en años.
¿Cuál es la población inicial de peces en el criadero?
〖lim〗_(t→0 ) (18t+12)/(2t+2)
Sustituyo t=0 en la función:
(18(0)+12)/(2(0)+2)=
(0+12)/(0+2)=
12/2=
12/2=
6
La población inicial de peces en el criadero fue 6.
¿Cuál será la población cuando el tiempo tienda a infinito?
〖lim〗_(t→∞) (18t+12)/(2t+2)
Dividiremos la función entre la variable con mayor potencia:
Encontrar la variable con mayor potencia en toda la función
Dividir cada término de la función entre la variable con mayor potencia
(18t+12)/(2t+2) (t/t)=
(18t/t+12/t)/(2t/t+2/t)=
(18+12/t)/(2+2/t)
Ya realizados los dos pasos anteriores, procedemos a determinar el límite:
〖lim〗_(t→∞) (18+12/t)/(2+2/t)
Aplicamos la regla que dice que: 〖lim〗_(x→a) (f(x)/g(x) )=(〖lim〗_(x→a) f(x))/(〖lim〗_(x→a) g(x)) ;〖lim〗_(x→a) g(x)≠0
〖lim〗_(t→∞) (18+12/t)/(2+2/t)=
(〖lim〗_(t→∞) (18+12/t))/(〖lim〗_(t→∞) (2+2/t))=
〖lim〗_(t→∞) (18+12/t)=18+12/∞=18
〖lim〗_(t→∞) (2+2/t)=(2+2/∞)=2
Ya teniendo desarrollados tanto el límite del numerador como el del denominador, procedemos a reemplazar en:
(〖lim〗_(t→∞) (18+12/t))/(〖lim〗_(t→∞) (2+2/t))=
Así:
18/2=
9
La población de peces cuando el tiempo tienda a infinito, será 9.