Question

En el paradero del Metropolitano, un bus pasa con una frecuencia de 18 minutos, otro cada 15 minutos y un tercero cada 8 minutos. ¿Dentro de cuántos minutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero?
con procedimiento es para hoy por favor :')
si no saben la respuesta no comenten ;-;

Answer 1

Respuesta:

Solución:

✤ ¿Dentro de cuántos minutos se encontrarán los tres en el paradero?

Para hallar el tiempo el que se encuentran los tres buses al mismo tiempo, tenemos que hallar el mínimo común múltiplo de los minutos de cada bus.

18 l 2

9 l 3

3 l 3

1

18 = 2 . 3² = 2 . 3 . 3

15 l 3

5 l 5

1

15 = 3 . 5

8 l 2

4 l 2

2 l 2

1

8 = 2³ = 2 . 2 . 2

M.c.m de 18, 15 y 8 ==> 2³ . 3² . 5 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360

Entonces los tres buses se encuentran al mismo tiempo cada 360 minutos.

✤ ¿Cómo hallar el mínimo común múltiplo?

Para encontrar el mínimo común múltiplo (se abrevia m.c.m) de dos números o más se tienen que seguir los siguentes pasos:

Descomponer los números dados en factores primos.

Multiplicar los factores no comunes y comunes con el mayor exponente.

Recuerda que los números primos son los números que solamente son divisibles entre si mismos y entre la unidad.

Para descomponer en factores primos se tiene que dividir al número en cuestión entre el menor número primo que lo divida exactamente. Y repetir el mismo procedimiento hasta obtener la unidad como resultado.

Explicación paso a paso:

Answer 2

Los tres buses se encontrarán en el paradero al menos cada 360 minutos.

Este tipo de planteamientos se resuelve encontrando el mínimo común múltiplo, m.c.m.

Un múltiplo $m$ de un número $n$, es todo número $m$ que puede ser dividido por $n$ resultando una división exacta de cociente entero.

Ejem: Todos los números que puedan dividirse entre 2, y resulte una división exacta, de cociente entero, son múltiplos de 2.

Así como, todos los números que puedan dividirse entre 3, y resulte una división exacta, de cociente entero, son múltiplos de 3. Y así para todos los números.

Un múltiplo común es un número que es múltiplo de dos o más números, de forma simultánea. Es decir, todo número que puede ser dividido, de manera exacta, cociente entero, por varios números.

Ejem: el 12, es múltiplo común de 2 y de 3, dado que

$\frac{12}{2} =6$ , exacto y entero, y también,

$\frac{12}{3} =4$, exacto y entero.

El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de un conjunto de múltiplos comunes. Es decir, si dos o más números tiene múltiplos comunes, el más pequeño de estos será su mínimo común múltiplo, m.c.m

Ejem:  Vimos como 12 es múltiplo común de 2 y 3. Ahora, esto también ocurre con 18, con 24, y otros mayores, así como con el 6.

El más pequeño de este conjunto de múltiplos comunes al 2 y 3, es el 6, por tanto, 6 es el mínimo común múltiplo.

Cómo hallar el m.c.m entre dos o más números:

• Se descompone cada uno de ellos en factores primos
• Se toman los factores comunes y no comunes, con su mayor exponente

• Se calcula el producto de los factores que se han tomado. Este será nuestro m.c.m

Usamos nuestro ejemplo, calculamos el m.c.m de nuestros tres tiempos.

a-18

$18/2=9\\9/3=3\\3/3=1\\18=2*3^{2}$

b-15

$15/3=5\\5/5=1\\15=3*5$

c-8

$8/2=4\\4/2=2\\2/2=1\\8=2^{3}$

Los factores comunes son el 2, con su máximo exponente 3; el 3, con su máximo exponente 2. Y el no común es el 5.

Nuestro m.c.m es el producto de esos factores,

$m.c.m=2^{3}*3^{2}*5=8*9*5=360$

Esto nos indica que 360 es el número mas pequeño entre el conjunto de múltiplos comunes a 8,15 y 18. Es decir, el menor tiempo posible en que coincida el bus que da vueltas cada 8 min, con el que da la vuelta en 15 min y el que la da en 18 min.

 

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