Question

Ayuda con este problema de límites (cuando "x" tiende al +infinito)

Answer 1

Espero te hayan dado todos los métodos con los cuales se puede hallar el límite de una función, primero tenemos que verificar que clase de indeterminación es la que tenemos que levantar...y poner cara de sorprendidos..

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 ^{x}-3 ^{-x} }{3 ^{x}+3 ^{-x}}= \frac{3 ^{\infty}-3 ^{-\infty} }{3 ^{\infty}+3 ^{-\infty}} =\frac{3 ^{\infty}- \frac{1}{3 ^{\infty} } }{3 ^{\infty}+ \frac{1}{3 ^{\infty} } }}$

Estás de acuerdo que 3 elevado a la mil millonesima de billones es como que un número gigantesco verdad?...y estás de acuerdo que si divido "1"..entre algo super hiper ultra recontraarchi gigantesco...eso se aproxima demasiado a cero?...tu silencio me confirma que si estás de acuerdo...

Entonces 
$\frac{1}{3 ^{ \infty} } =0$

Entonces el límite nos queda así.....

$\frac{3 ^{\infty}- \frac{1}{3 ^{\infty} } }{3 ^{\infty}+ \frac{1}{3 ^{\infty} } }}= \frac{3 ^{\infty}- 0 }{3 ^{\infty}+ 0 }}= \frac{3 ^{\infty}}{3 ^{\infty}} = \frac{\infty}{\infty}$

Y esa es indeterminación que tenemos, ahora existe un método elegante bonito y sencillo que se llama Regla de L`Hopital...el teorema nos dice lo siguiente:

Tienes un límite de ésta forma?
$\lim_{x \to \(a} \frac{f(x)}{g(x)}$
Tienes una indeterminación de cualquiera de éste tipo
$\frac{\infty}{\infty} ; \frac{0}{0}$
Estás cansada de intentar y no te sale...?..

Entonces...si cumple con éstas condiciones...lo que vamos a hacer es derivar en el numerador y también derivar en el denominador...
Cuidado¡...no derivar como si fuera un cociente¡¡..son derivadas distintas...
Antes de derivar vamos a acomodarle un poquito esa función

$\frac{3 ^{x}-3 ^{-x} }{3 ^{x}+3 ^{-x}} = \frac{3 ^{x}-(3 ^{x}) ^{-1} }{3 ^{x}+(3 ^{x}) ^{-1}}$

Ahora te parece si a (3^x) le ponemos un nombre te parece "a"
$3^{x} =a$

$\frac{3 ^{x}-(3 ^{x}) ^{-1} }{3 ^{x}+(3 ^{x}) ^{-1}} =\frac{a-(a ) ^{-1} }{a+(a) ^{-1}} =\frac{a- \frac{1}{a} }{a+ \frac{1}{a} } =\frac{ \frac{ a^{2}-1 }{a} }{ \frac{ a^{2}+1 }{a} }=( \frac{ a^{2}-1 }{a}):(\frac{ a^{2}+1 }{a} )=( \frac{ a^{2}-1 }{a})(\frac{a }{a^{2}+1} )= \\ \\ =\frac{ a^{2}-1 }{ a^{2}+1 }$

$\lim_{x \to \infty} \frac{ 3^{x}-3^{-x} }{3^{x}-3^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{ a^{2} -1 }{a ^{2} +1} =\lim_{x \to \infty} \frac{ ( 3^{x} )^{2} -1 }{ (3^{x}) ^{2} +1}=... \\ \\ ...=\lim_{x \to \infty} \frac{ ( 3^{2x} ) -1 }{ (3^{2x})+1}$

Ya eso está más bonito
entonces vamos a aplicar el teorema de L`Hopital
$\frac{3 ^{2x}-1 }{3 ^{2x}+1}$
Ahora derivemos en numerador y denominador

$f(x)= 3^{2x} -1 \\ f(x)=9 ^{x} -1 \\ f'(x)= 9^{x} ln(9) \\ \\ g(x)= 3^{2x} +1 \\ g(x)=9 ^{x} +1 \\ g'(x)= 9^{x} ln(9)$

Entonces finalmente ya podemos calcular ese límite

$\lim_{x \to \infty} \frac{ 3^{x}-3^{-x} }{3^{x}+3^{-x}} = \frac{9^{x}ln(9)}{9 ^{x}ln(9) } =1 \\ \\ \lim_{x \to \infty}1=1$

Y eso sería todo...ahora porque no simplificamos al comienzo del ejercicio?...no podíamos simplificar porque primero tuvimos que APLICAR EL LÍMITE para poder desacernos del segundo término de arriba y a bajo...ésta vez sin aplicar el límite se simplficó...y el límite de una constante es siempre la constante¡¡

Si tienes alguna duda me avisas