Question

Racionalizar la siguiente expresión $\frac{3-\sqrt{9+x^{2} } }{3+\sqrt{9+x^{2} } }$

Answer 1

Al racionalizar la fracción tenemos como resultado

$=-\frac{\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)^2}{x^2}$  

Procedimiento

Para resolver este ejercicio

$\frac{\:3-\sqrt{\:9+x^2}}{\:3+\sqrt{9+x^2}\:}$

Multiplicamos por el conjugado  $\:\frac{3-\sqrt{9+x^2}}{3-\sqrt{9+x^2}}$

De tal manera que nos queda lo siguiente

$=\frac{\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)}{\left(3+\sqrt{9+x^2}\right)\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)}$

Resolviendo el numerador

$(\:3-\sqrt{\:9+x^2})(\:3-\sqrt{\:9+x^2})$

Aplicando propiedad de la potencia "multiplicación de potencias de igual base"

$\left(\:3-\sqrt{\:9+x^2}\right)^2$

Resolviendo el denominador

$\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)\left(3+\sqrt{9+x^2}\right)$

Aplicando la regla de los binomios cuadrados  $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

$=3^2-\left(\sqrt{9+x^2}\right)^2$

$=3^2-\left(9+x^2)$

$=9-9+x^2$

$=-x^{2}$

Reemplazando los nuevos valores en la ecuación general o principal

$=\frac{\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)^2}{-x^2}$

Aplicando propiedad de las fracciones  $\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

$=-\frac{\left(3-\sqrt{9+x^2}\right)^2}{x^2}$