Question

La longitud del cateto más largo de un triángulo rectángulo es 13 m más que tres veces la longitud del lado más corto. La longitud de la hipotenusa es 14m más que tres veces la longitud del lado más corto. Hallar las longitudes de los lados del triángulo.


Niños no respondan abstenganse

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

sea x el lado mas corto

13+3x es el lado más largo

14 +3x es La longitud de la hipotenusa

Aplicaremos la fórmula del teorema de Pitágoras para resolver

$c^{2} =a^{2} +b^{2}$,   donde, a= x (cateto)   b=13+3x (cateto)       c=14 +3x  (hipotenusa)

Sustituimos los valores en la fórmula:

$(14 +3x)^{2} =x^{2} +(13+3x)^{2}\\\\(14)^{2} +2.14.3x+(3x)^{2} = x^{2} +13^{2} +2.13.3x+(3x)^{2}\\\\196+84x+9x^{2} =x^{2}+169+78x+9x^{2}\\\\84x+9x^{2} -x^{2}-78x-9x^{2}=169-196\\\\-x^{2} +6x=-27\\\\-x^{2} +6x+27=0$

Es una ecuación de segundo grado  la resolvemos aplicando la fórmula general de la ecuación de segundo grado :

$x=\frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2} -4.a.c} }{2.a}$               donde a= -1   b= 6    c= 27

Sustituimos los valores en la fórmula:

$x=\frac{-6\frac{+}{} \sqrt{6^{2} -4.(-1).27} }{2.(-1)}\\\\x=\frac{-6\frac{+}{} \sqrt{36 +108} }{-2}\\\\x=\frac{-6\frac{+}{} \sqrt{144} }{-2}\\\\x= \frac{-6\frac{+}{} 12 }{-2}$

tenemos dos soluciones para la x:

$x_{1} =\frac{-6+ 12 }{-2}\\\\x_{1} =\frac{6 }{-2}\\\\x_{1} =-3$                              $x_{2} =\frac{-6- 12 }{-2}\\\\x_{2} =\frac{-18 }{-2}\\\\x_{2} =9$

Como estamos hallando las longitudes de un triángulo ,los valores deben ser positivos , por lo tanto de la ecuación de segundo grado tomaremos el valor positivo es decir x=9

x=9

sustituimos este valor en 13+3x   y en 14 +3x

13+3x = 13+3(9)= 13+27=40

14 +3x= 14+3(9) = 14+27 =41

El triangulo tiene las siguientes longitudes:

catetos: 9m  y   40m

hipotenusa: 41m