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Respuesta:
Los siguientes números se obtienen fijándose en la forma en que aumenta cada término respecto del anterior.
Verás que la diferencia entre términos consecutivos no es una cantidad fija sino que va aumentando de dos en dos de manera que aquí tenemos una sucesión dentro de otra sucesión. Lo que viene llamándose SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.
Los términos que continúan la sucesión, partiendo de que entre los dos últimos términos que nos dan existe una diferencia de 90-72 = 18, se deduce que hay que sumar 20 unidades a 90 para obtener el siguiente término, es decir que después del 90 vendría el 90+20 = 110 ... después sumaríamos 22 unidades y tendríamos 110+22 = 132 ... y así sucesivamente.
Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. Veamos...
Términos: 1º 2º 3º 4º
Prog. inicial: 2 6 12 20 ... etc
Diferencia 1: +4 +6 +8 ⇒ (primer orden)
Diferencia 2: +2 +2 ⇒ (segundo orden)
En el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 entre dos términos consecutivos, 4+2 = 6,... 6+2= 8,... etc...
Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general (o enésimo) debe tener esta forma:
... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.
Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrito arriba y que he remarcado en negrita.
Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:
1er. térm. de prog. inicial = 2 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+4 ... lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+2 ... lo llamo A
Y ahora hay que acudir a esta expresión:
Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas. Alguien muy inteligente debió deducirla pero no soy yo. El caso es que sustituiré las letras A,B,C, por sus valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.
Ahí está el término general:
o regla como la llaman en tu ejercicio.
Si das valores a "n" verás que se va construyendo la sucesión.
Para n = 1 ... 1²+1 = 2
Para n = 2 ... 2²+2 = 6
Para n = 3 ... 3²+3 = 12
Para n = 4 ... 4²+4 = 20 ... etc...
Con esa expresión podemos saber el valor del término que queramos según el orden que ocupe en la sucesión, por ejemplo, si nos piden el término que se encuentre en el lugar nº 100, que sería a₁₀₀, sólo hemos de sustituir "n" por ese valor y ya está:
Para n = 100 ... a₁₀₀ = 100²+100 = 10000+100 = 10.100
Explicación paso a paso: