Question

ayuda con límites trigonométricos

creo que me equivoque, de ser así, agradecería mucho si me pudieran explicar donde esta el error?

Answer 1

Bueno la idea está bien...pero si te fijas en el denominador te olvidaste de multiplicar sin(2x)(1+cos(x)).....y le indeterminación no se pudo haber levantado por ese camino...y después del tercer igual mejor olvídate que hiciste eso....

vamos viendo, primero tenemos que ver que tipo de indeterminación tenemos:

$\lim_{x \to \(0} \frac{1-cos(x)}{sin(2x)} = \frac{1-cos(0)}{sin(2(0))} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$

Cuando tenemos éste tipo de indeterminación en especial con trigonométricas lo primero que se tiene que venir a la mente es L`Hopital
La regla de L`Hopital, nos dice, tienes una indeterminación del tipo 0/0 ...o infinito/infinito?....entonces puedes derivar en el numerador y denominador...y el límite aparece...

entonces...el teorema de L`Hopital es así

$\lim_{x \to \(a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \\ \lim_{x \to \(a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{infinito}{infinito}$

Si tienes cualquier de éstas inderminaciónes
entonces puedes hacer lo siguiente

$\lim_{x \to \(a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Entonces apliquemos éste teorema al problema

$\lim_{x \to \(0} \frac{1-cos(x)}{sin(2x)}= \frac{(1-cos(x))'}{(sin(2x))'} = \frac{sin(x)}{cos(2x)2} = \frac{sin(x)}{2cos(2x)}$

Ahora ese límite ya podemos calcular porque ya no tenemos la indeterminación del denominador..

$\lim_{x \to \(0} \frac{1-cos(x)}{sin(2x)} = \frac{sin(x)}{2cos(2x)} = \frac{sin(0)}{2cos(2(0))} =0$

Y eso sería todo...

Nota: ahora ya sabes que hacer cuando tienes ese tipo de indeterminaciones...no son las únicas formas de resolverlos...pero es una muy útil...ahora mi pregunta es ...jajja..como llegaste a lo mismo?.jajaja...ese simplificado que hiciste por favor no lo vuelvas a hacer...está mal