Question

CALCULAR POR MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES.

xy^3dx=e^(x^2) dy

el e esta elevado a x al cuadrado.

Answer 1

Tu ejercicio es el siguiente

$x y^{3} dx= e^{ x^{2} } dy$

Lo que debemos hacer es justamente separar todo lo que tenga "x" a un lado todo lo que tenga "y" al otro lado
$\frac{x}{ e^{ x^{2} } }dx= \frac{dy}{ y^{3} }$

Ahora si, integramos a cada lado...


$\int\limits {\frac{x}{ e^{ x^{2} } }} \, dx = \int\limits{\frac{dy}{ y^{3} } } \, \\ \\ \int\limits { xe^{ -x^{2} }} \, dx = \int\limits{y^{-3}dy } \,$

Para integrar el lado izquierdo...podemos hacer un cambio de variable...o integrar por sustitución, es decir escojamos

$u= x^{2}$
Ahora ah ésto tenemos que derivar y despejamos el diferencial de "x"

$du=2xdx \\ dx= \frac{du}{2x}$

Ahora para integrar el lado derecho no es muy difícil cierto?...es una integral directa que nos dice lo siguiente

$\int\limits {x ^{n} } \, dx = \frac{x ^{n+1} }{n+1} +C$

Ojo ésta integral directa, solo funciona cuando n≠-1

Ya tenemos todo ahora si

$\int\limits { xe^{ -x^{2} }} \, dx = \int\limits{y^{-3}dy } \, \\ \int\limits { xe^{ -u }} \, \frac{du}{2x} = \frac{y ^{-3+1} }{-3+1}$

mira que la "x" se nos va a simplificar...además.basta que aumentemos una constante a todo el ejercicio, no es necesario aumentar las dos constantes de integración de cada integral...

$\\ \int\limits { xe^{ -u }} \, \frac{du}{2x} = \frac{y ^{-3+1} }{-3+1} \\ \\ \int\limits { e^{ -u }} \, \frac{du}{2} = \frac{y ^{-2} }{-2} +C \\ \\ \frac{1}{2} \int\limits { e^{-u} } \, du =- \frac{1}{2y^{2} } +C \\ \\ \frac{1}{2} (- e^{ -u} )=- \frac{1}{2y^{2} } +C \\ \\ - \frac{1}{2} e^{ -x^{2} } + \frac{1}{2 y^{2} } =C$

Y eso sería todo...Como no nos dan condiciones iniciales queda expresado como una constante (C)