Question

resuelve la integral: ∫ln(x)/√x (dx)

Answer 1

Resolvamos por cambio de variable:

Si hacemos: u=lnx , entonces:  x=e^u  --> dx = e^u*du

Reemplazando:

$\int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx= \int \frac{u}{e^{u/2}} e^udu = \int ue^{u/2}du$

Integración por partes: U=u --> dU=du  ;  d V=e^(u/2)du --> V = 2*e^(u/2)

$\int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = \int \frac{u}{e^{u/2}} e^udu = U*V-\int VdU \ \ \int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = \int \frac{u}{e^{u/2}} e^udu = u*2e^{u/2}-\int {2e^{u/2}du} \ \ \int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = \int \frac{u}{e^{u/2}} e^udu = 2ue^{u/2}-4e^{u/2} + C$

pero: u=lnx, reemplazando, obtenemos:

$\int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = 2(lnx)e^{(lnx)/2}-4e^{(lnx)/2} + C \ \ \int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = 2(lnx)\sqrt{e^{(lnx)}}-4\sqrt{e^{(lnx)}} + C \ \ \int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = 2(lnx)\sqrt{x}-4\sqrt{x}} + C \ \ \boxed{ \int \frac{lnx}{ \sqrt{x} } dx = 2\sqrt{x}(lnx-2) + C }$
 
 
Saludos!!