Question

Sustituye la función trigonométrica por una variable nueva y escribe la ecuación que resulta.
6sen3(t)−5sen2(t)−3sen(t)+2=0 6sen3(t)−5sen2(t)−3sen(t)+2=0

Answer 1

Entonces tenemos para la primera ecuación

Primera vamos a poner todo en término de sin(t)
usando el seno de la suma...y también el coseno de la suma

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$
Supongamos que a=b
$sin(2a)=sin(a+a)=2sin(a)cos(a)$

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
Supongamos que a=b
$cos(2a)=cos(a+a)=cos ^{2} (a)-sin ^{2} (a)$

Además la identidad trigonométrica que nunca tienes que olvidarte
$sin ^{2} (x)+cos ^{2} (x)=1$

Entonces vamos desarrollando he ir aplicando todo ésto

$6sin(2t+t)-5sin(t+t)-sin(t)+2=0 \\ \\ 6(sin(2t)cos(t)+cos(2t)sin(t))-5(sin(t)cos(t)+cos(t)sin(t))-sin(t) \\ +2=0 \\ \\ 6(sin(2t)cos(t)+cos(2t)sin(t))-5(2sin(t)cos(t))-sin(t)+2=0 \\ \\ 6[(2sin(t)cos(t)(cos(t)))+(cos ^{2}(t)-sin ^{2}(t) )(sin(t))] -10sin(t)cos(t)... \\ ...-sin(t)+2=0 \\ \\ 12sin(t)cos ^{2}(t)+6[(cos ^{2}(t)-sin ^{2}(t) )(sin(t))]-10sin(t)cos(t)... \\...-sin(t)+2=0$

$12sin(t)(1-sin ^{2}(t) )+6[((1-sin ^{2}(t))-sin ^{2}(t) )(sin(t) )]... \\ ...-10sin(t)cos(t)-sin(t) +2=0\\ \\ 12sin(t)-12sin ^{3} (t)+6[(1-2sin ^{2}(t) )(sin(t))]-10sin(t)cos(t)... \\ ...-sin(t)+2=0 \\ \\ 12sin(t)-12sin ^{3} (t)+6sin(t)-12sin ^{3} (t)-10sin(t)cos(t)... \\ ...-sin(t)+2=0 \\ \\ 18sin(t)-24sin ^{3} (t)-10sin(t)cos(t)-sin(t)+2=0 \\ \\ -24sin ^{3}(t)+ 17sin(t)-10sin(t)cos(t)+2=0$

Finalmente nos quedó ésto...ese cos(t) está molestando ahí...pero ya ni modo..podríamos reemplazar sacando la raíz de la identidad que tenemos al comienzo..pero el problema es que no sabes si esa raíz será negativa o positiva... en todo caso...ahora si escojamos una letra para sin(t)=a

$-24a ^{3} +17a-(10a)cos(t)+2=0$ 
mira que no hemos usando ninguna identidad extraña..solo las elementales...
si existe una fórmula para el seno triple...pero si no te acuerdas?...el único camino que tienes es el que acabé de hacer...en todo caso....mejor aprendetelas..:D...