Question

En la siguiente figura la curva superior es una semicircunferencia, y la curva inferior es un cuarto de circunferencia con centro en el vértice del
triángulo donde está el ángulo recto. ¿Cuál es el área de la figura sombreada, en metros cuadrados, cuyo diámetro del semicírculo es 20 metros? Exprese su respuesta con dos cifras decimales.

Answer 1

El objetivo del ejercicio queda claro. Para obtener el área de la región sombreada hay que saber el área del semicírculo y restarle el área del espacio comprendido entre la cuerda ---la cual es a su vez el diámetro del semicírculo--- y el sector circular formado por el triángulo rectángulo dibujado.

El área del semicírculo es lo más sencillo de calcular ya que conocemos el diámetro (20 m.) y por tanto la mitad será el radio (10 m.)

Aplicando la fórmula de área de un círculo y dividiéndola por 2 tendremos ese dato.
$Area.Semicirculo = \frac{\pi * r^{2} }{2} = \frac{3,14*100}{2} =157$ m²

Ahora hay que saber la otra área comentada arriba.
Dicha área se obtiene calculando el área del sector circular y restándole el área del triángulo rectángulo.

Lo primero es conocer el valor del radio. Esos dos radios trazados a los vértices del triángulo rectángulo forman un ángulo recto y por tanto podemos imaginar que es la mitad de un cuadrado que ha quedado partido por su diagonal que es el diámetro del otro semicírculo y que mide 20 m. No sé si me explico.

Existe una fórmula basada en Pitágoras que relaciona el lado y la diagonal de cualquier cuadrado:
$Diagonal = Lado* \sqrt{2}$ ... despejando el lado...
$Lado = \frac{Diagonal}{ \sqrt{2} } = \frac{20}{1,4142}= 14,14 m.$

Ahora la fórmula del sector circular:
$Sector = \frac{ \pi * r^{2}* \alpha }{360}$
siendo α el ángulo formado por los dos radios que en este caso es de 90º
$Sector = \frac{ \ 3,14 * 14,14^{2}* 90 }{360}=156,96$  m²
aproximando por exceso en las centésimas.

Calculo el área del triángulo rectángulo: 14,14×14,14 / 2 = 99,96 m²

Area comprendida entre la cuerda y el segmento circular:
Area sector - Area triángulo = 156,96 - 99,96 = 57 m²

Area sombreada = Area semicírculo - Area cuerda = 157 - 57 = 100 m²
si no me he equivocado en alguna operación, pero el razonamiento es correcto.

Saludos.