Question

quien sabe desarrollar estos ejercicios.. ayudaaa

Answer 1

Bueno vamos a usar los mismo criterios que vimos anteriormente...en todo caso...serán éstos...

Las integrales de la mayoría de ejercicio es bastante intuitivas si te sabes sus respectivas derivadas...

Entonces vamos viendo algunas propiedades que usaremos

$\int\limits^b_a {(f(x)+g(x)+h(x)+...)} \, dx = \int\limits^b_a {f(x)} \, dx + \int\limits^b_a {g(x)} \, dx + \int\limits^b_a {h(x)} \, dx +... \\ \\ \int\limits^b_a {kf(x)} \, dx =k \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \\ \\ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(x)+C$

La tercera lo que nos garantiza es que siempre vamos a hallar la antiderivada de una función y no debemos olvidarnos de poner la constante de integración...

Ahora algunas integrales directas que debes sabértelas

$\int\limits^b_a { \sqrt[n]{ x^{m} } \, dx = \int\limits^b_a { x^{ \frac{m}{n} } } \, dx= \frac{x ^{ \frac{m}{n}+1 } }{\frac{m}{n}+1} +C$

$\int\limits^b_a {x ^{n} } \, dx = \frac{x ^{n+1} }{n+1}$
Ésta solo funciona cuando n es distinto de -1 (n≠-1)

Y ya, con todas éstas será suficiente

Para el primer ejercicio...ya tenemos un fórmula de la derivada directa apliquemosla..

$\int\limits { \sqrt[3]{x} } \, dx = \int\limits{ x^{ \frac{1}{3} } } \, dx = \frac{x^{ \frac{1}{3}+1 } }{\frac{1}{3}+1} = \frac{ x^{ \frac{4}{3} } }{ \frac{4}{3} } = \frac{3}{4} x^{ \frac{4}{3} } = \frac{3}{4} \sqrt[3]{ x^{4} } +C$

Y eso sería todo

para el segundo

$\int\limits {(5 x^{2} +1)(10x)} \, dx$
Cuando tenemos un producto de dos polinomios lo mejor aunque es largo, es realizar esa multiplicación término a término y aplicar la integral directa de un polinomio elevado a la n que es muy fácil de calcular

$\int\limits {(5 x^{2} +1)(10x)} \, dx =\int\limits {(50 x^{3}+10x )} \, dx = \int\limits {50 x^{3} } \, dx + \int\limits{10x} \, dx =... \\ \\ ...=50 \int\limits { x^{3} } \, dx +10 \int\limits {x} \, dx =50( \frac{ x^{3+1} }{3+1} )+10( \frac{ x^{1+1} }{1+1} )=... \\ \\ ...=50 \frac{x ^{4} }{4} +10 \frac{ x^{2} }{2} = \frac{25}{2} x^{4} +5 x^{2} +C$

La tercera integral me parece que ya la hice..

La cuarta integral...

$\int\limits { \frac{ x^{3} }{(1+ x^{4} ) ^{2} } } \, dx$

Para éste ejercicio debemos usar un método de integración distinto que se llama sustitución...el propósito es tratar de comprimir grande expresiones por una letra y la derivamos...entonces con la práctica sabrás escoger a que vas a ponerle un nombre diferente para tu conveniencia..

Ahora es fácil darse cuenta la idea que tenemos...
consideremos

$u=1+ x^{4}$
Ahora necesitamos sacar la derivada de ésto y despejamos la diferencia de "x"...

$du=0+4 x^{3} \\ du=4 x^{3} dx \\ dx= \frac{du}{4 x^{3} }$

Ahora con todo éstos cambios que hemos hecho reemplacemos en la integral original

$\int\limits { \frac{ x^{3} }{(1+ x^{4} ) ^{2} } } \, dx =\int\limits { \frac{ x^{3} }{(u) ^{2} } } \, ( \frac{du}{4 x^{3} } )$

mira que se nos va a simplificar los x al cubo...y todo está en función de "u"...que es lo que queríamos...

$\int\limits { \frac{ 1 }{(u) ^{2} } } \, ( \frac{du}{4 } ) =\int\limits { \frac{ du }{4(u) ^{2} } } \, = \frac{1}{4} \int\limits { \frac{1}{ u^{2} } } \, du= \frac{1}{4} \int\limits { u^{-2} } \, du = \frac{1}{4} ( \frac{u ^{-2+1} }{-2+1} )=... \\ \\ ...= \frac{1}{4} ( \frac{ u^{-1} }{-1} )=- \frac{1}{4} u^{-1} =- \frac{1}{4u} +C$

Pero no queremos la respuesta en función de "u"...ahora si recuerdas a que era igual "u"

...=$- \frac{1}{4(1+ x^{4} )} +C$

y ésta si es la respuesta final...

El último ejercicio lo acabo de publicar en otra publicación que tienes de éste tipo...porque sobrepasé los 5000 caracteres que me permite de respuesta...la continuación http://brainly.lat/tarea/3768079 está en éste link de tu misma publicación