Question

{sen(α)+cos(β)=12

sen(α)−4cos(β)=−1

Sistema de ecuaciones trigonometricas

Answer 1

sen(α)+cos(β)=12sen(α)−4cos(β)=−1  ----> multiplicamos x (-)
--------------------------

sen(α)+cos(β)=12-sen(α)+4cos(β)=1   ----> sumamos
-----------------------  
5cos(β)= 13
cos(β)= $\frac{13}{5}$

Answer 2

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\left \{ {{sin( \alpha )+cos( \beta )=12} \atop {sin( \alpha )-4cos( \beta )=-1}} \right.$

hagamos lo siguiente vamos a ponerle otro nombre al seno o coseno

$sin( \alpha )=x \\ cos( \beta )=y$
entonces nos quedaría así

$\left \{ {x+y=12} \atop {x-4y=-1}} \right.$

ahora podemos multiplicar a la segunda ecuación por menos 1
$\left \{ {x+y=12} \atop ({x-4y=-1)(-1)}} \right. =\left \{ {x+y=12} \atop {-x+4y=1}} \right.$

Ahora sumemos las dos ecuaciones si te das cuenta las "x" se cancelan verdad?...

$y+4y=12+1 \\ y= \frac{13}{5}$

Con éste dato podemos reemplazar en la primera ecuación

$x+y=12 \\ x=12- \frac{13}{5} \\ x= \frac{47}{5}$

Ahora no, nos pide cuanto vale "x" y "y"...nos pide  el seno y coseno..ahoa volvamos a como estaba al comienzo

$x= \frac{47}{5} =sin( \alpha ) \\ \alpha =arcsin( \frac{47}{5} )$
Pero mira que si haces esa división nos da 47/5≈9.4

y si recuerdas la gráfica del seno el recorrido de esa función es de -1 hasta 1...entonces eso ángulo no existe...y puesto que dijimos que ésto era un SISTEMA si una de las soluciones del problema no existe entonces el sistema no tiene solución...y se acabó...