Question

Demostrar que ∀n∈ N se cumple que:

║x₁ + x₂+...+ xₙ║ ≤ ║x₁║ + ║x₂║ +...+║xₙ║

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

               Principio de inducción

Sea P(n) una proposición de todos los n∈ N tal que

• P(1) es verdadera

• Para todo k ∈ N, si P(k) es verdadera, esto implica que P(k+1) es verdadera    

Por lo tanto P(n) es verdadera para todo n ∈ N

Este principio nos sirve para demostrar cualquier proposición de los números naturales,  

• El punto 1 se llama caso base

• El punto 2 se llama hipótesis inductiva, y en caso de ser verdadera, implica la tesis inductiva, que es lo que debemos demostrar

Veamos el ejercicio

║$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$ ║   ≤   ║$x_{1}$║ + ║$x_{2}$║ +...+ ║$x_{n}$║

Caso base: Comprobemos para n= 1

Es trivial ya que:

║$x_{1}$║  ≤  ║$x_{1}$║

Hipótesis inductiva: Supongamos que la desigualdad es valida para algún "k"

║$x_{1} +x_{2}+...+x_{k}$║   ≤  ║$x_{1}$║+║$x_{2}$║+...+║$x_{k}$║

Deberemos demostrar si se cumplirá para el siguiente, es decir para k + 1

║$x_{1} +x_{2}+...+ x_{k+1}$║ ≤  ║$x_{1}$║ + ║$x_{2}$║+...+║$x_{k+1}$║

Aquí usaremos un teorema muy importante:

Teorema:  ∀ a,b ∈ R se cumple que:

║a + b║ ≤ ║a║+║b║

Esta se conoce como la desigualdad del triangulo

Lo que queremos demostrar es una generalización de la desigualdad del triangulo, es importante utilizarla para esta ocasión

Nos queda que:

║$x_{1} +x_{2}+...+x_{k+1}$║  ≤  ║$x_{1} +x_{2}+...+x_{k}$║ + ║$x_{k+1}$║

Es decir el $x_{k+1}$ lo "sacamos afuera"

Ahora, por la hipótesis de inducción tenemos que:

║$x_{1} +x_{2} +...+x_{k}$║ +║$x_{k+1}$║  ≤   ║$x_{1}$║ + ║$x_{2}$║ +...+ ║$x_{k}$║ + ║$x_{k+1}$║

Lo cual llegamos a que:

║$x_{1} +x_{2}+...+x_{k+1}$║   ≤   ║$x_{1}$║ + ║$x_{2}$║ +...+║$x_{k}$║ + ║$x_{k+1}$║  

Que es lo que se quería demostrar

Te dejo un ejercicio similar

• https://brainly.lat/tarea/33249076

Saludoss