Holaaaa Necesito Hacer Un Ejercicio de Método Gauss! 5 Estrellas al que solucione bien y 20 puntos!
2x - y + 3z = -3
x + y - z = 2
-x + 2y + 2z = -7
Respuestas
Respuesta dada por:
0
Bueno el método de Gauss, nos dice que hagamos ceros bajo la diagonal...el método de Gauss-Jordan nos dice que hagamos ceros por encima y debajo de la diagonal...
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones...

Ahora vamos a realizar la matriz ampliada multiplicada por las variables igualada a los coeficientes.
![\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&1&-1\\-1&2&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}-3&2&-7\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&1&-1\\-1&2&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}-3&2&-7\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D2%26amp%3B-1%26amp%3B3%5C%5C1%26amp%3B1%26amp%3B-1%5C%5C-1%26amp%3B2%26amp%3B2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Dx%26amp%3By%26amp%3Bz%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D-3%26amp%3B2%26amp%3B-7%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
Ahora consideremos la matriz en la que vamos a trabajar
![\left[\begin{array}{ccccc}2&-1&3&|&-3\\1&1&-1&|&2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}2&-1&3&|&-3\\1&1&-1&|&2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D2%26amp%3B-1%26amp%3B3%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%5C%5C1%26amp%3B1%26amp%3B-1%26amp%3B%7C%26amp%3B2%5C%5C-1%26amp%3B2%26amp%3B2%26amp%3B%7C%26amp%3B-7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
Ahora vamos a hacer operaciones de sumas, restas, o multiplicaciones por números...
Primero hacemos aparecer un "1" en la primera fila primera columna, entonces DIVIDIMOS A LA FILA 1 ENTRE 2
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\1&1&-1&|&2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\1&1&-1&|&2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C1%26amp%3B1%26amp%3B-1%26amp%3B%7C%26amp%3B2%5C%5C-1%26amp%3B2%26amp%3B2%26amp%3B%7C%26amp%3B-7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
y hacemos de "pivote" a ese "1" que obtuvimos...hacemos
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\1-1&1-(-1/2)&-1-3/2&|&2-(-3/2)\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\1-1&1-(-1/2)&-1-3/2&|&2-(-3/2)\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C1-1%26amp%3B1-%28-1%2F2%29%26amp%3B-1-3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B2-%28-3%2F2%29%5C%5C-1%26amp%3B2%26amp%3B2%26amp%3B%7C%26amp%3B-7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D...+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++...%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B3%2F2%26amp%3B-5%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F2%5C%5C-1%26amp%3B2%26amp%3B2%26amp%3B%7C%26amp%3B-7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Ahora hacemos
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\-1+1&2-1/2&2+3/2&|&-7-3/2\end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\0&3/2&7/2&|&-17/2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\-1+1&2-1/2&2+3/2&|&-7-3/2\end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\0&3/2&7/2&|&-17/2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B3%2F2%26amp%3B-5%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F2%5C%5C-1%2B1%26amp%3B2-1%2F2%26amp%3B2%2B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-7-3%2F2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D...+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C+...%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B3%2F2%26amp%3B-5%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F2%5C%5C0%26amp%3B3%2F2%26amp%3B7%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-17%2F2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Ahora podemos hacer:
y también 
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& \frac{3}{2}( \frac{2}{3} ) &- \frac{5}{2}( \frac{2}{3} ) &|& \frac{7}{2}( \frac{2}{3} ) \\0& \frac{3}{2}( \frac{2}{3} ) & \frac{7}{2}( \frac{2}{3} ) &|&- \frac{17}{2}( \frac{2}{3} ) \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& \frac{3}{2}( \frac{2}{3} ) &- \frac{5}{2}( \frac{2}{3} ) &|& \frac{7}{2}( \frac{2}{3} ) \\0& \frac{3}{2}( \frac{2}{3} ) & \frac{7}{2}( \frac{2}{3} ) &|&- \frac{17}{2}( \frac{2}{3} ) \end{array}\right]=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29+%26amp%3B-+%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29+%26amp%3B%7C%26amp%3B+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29+%5C%5C0%26amp%3B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29+%26amp%3B+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29+%26amp%3B%7C%26amp%3B-+%5Cfrac%7B17%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%29+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D)
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 1&7/3 &|&- 17/3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 1&7/3 &|&- 17/3 \end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+1+%26amp%3B-5%2F3%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F3+%5C%5C0%26amp%3B+1%26amp%3B7%2F3+%26amp%3B%7C%26amp%3B-+17%2F3+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Ahora hagamos
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 1-1&7/3-(-5/3) &|&- 17/3-7/3 \end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&4 &|&-8 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 1-1&7/3-(-5/3) &|&- 17/3-7/3 \end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&4 &|&-8 \end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+1+%26amp%3B-5%2F3%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F3+%5C%5C0%26amp%3B+1-1%26amp%3B7%2F3-%28-5%2F3%29+%26amp%3B%7C%26amp%3B-+17%2F3-7%2F3+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D...+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C+...%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+1+%26amp%3B-5%2F3%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F3+%5C%5C0%26amp%3B+0%26amp%3B4+%26amp%3B%7C%26amp%3B-8+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Ahora dividamos a la tercera fila entre 4 :
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&4/4 &|&-8/4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&1 &|&-2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&4/4 &|&-8/4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&1 &|&-2 \end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+1+%26amp%3B-5%2F3%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F3+%5C%5C0%26amp%3B+0%26amp%3B4%2F4+%26amp%3B%7C%26amp%3B-8%2F4+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+1+%26amp%3B-5%2F3%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F3+%5C%5C0%26amp%3B+0%26amp%3B1+%26amp%3B%7C%26amp%3B-2+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Como nos dice que resolvamos por Gauss...es decir hemos hecho ceros bajo la diagonal...si hubiera sido Gauss-Jordan tuviéramos que hacer ceros también sobre la diagonal...
Entonces nos quedó ésto...
![\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&1 &|&-2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&1 &|&-2 \end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%26amp%3B-1%2F2%26amp%3B3%2F2%26amp%3B%7C%26amp%3B-3%2F2%5C%5C0%26amp%3B+1+%26amp%3B-5%2F3%26amp%3B%7C%26amp%3B7%2F3+%5C%5C0%26amp%3B+0%26amp%3B1+%26amp%3B%7C%26amp%3B-2+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Entonces ahora tenemos las siguientes ecuaciones..

Acomodando nos queda

Ahora si no te gustan esas fracciones podemos multiplicar a toda la primera ecuación por 2

A la segunda ecuación vamos a multiplicarle por 3

Ahora tenemos el siguiente sistema

Ahora reemplacemos el valor de "z" en la segunda ecuación

Ahora con éste nuevo valor y el anterior vamos a la primera ecuación


Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones...
Ahora vamos a realizar la matriz ampliada multiplicada por las variables igualada a los coeficientes.
Ahora consideremos la matriz en la que vamos a trabajar
Ahora vamos a hacer operaciones de sumas, restas, o multiplicaciones por números...
Primero hacemos aparecer un "1" en la primera fila primera columna, entonces DIVIDIMOS A LA FILA 1 ENTRE 2
y hacemos de "pivote" a ese "1" que obtuvimos...hacemos
Ahora hacemos
Ahora podemos hacer:
Ahora hagamos
Ahora dividamos a la tercera fila entre 4 :
Como nos dice que resolvamos por Gauss...es decir hemos hecho ceros bajo la diagonal...si hubiera sido Gauss-Jordan tuviéramos que hacer ceros también sobre la diagonal...
Entonces nos quedó ésto...
Entonces ahora tenemos las siguientes ecuaciones..
Acomodando nos queda
Ahora si no te gustan esas fracciones podemos multiplicar a toda la primera ecuación por 2
A la segunda ecuación vamos a multiplicarle por 3
Ahora tenemos el siguiente sistema
Ahora reemplacemos el valor de "z" en la segunda ecuación
Ahora con éste nuevo valor y el anterior vamos a la primera ecuación
Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
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