Question

AYUDA PLISSSSS ES DE VIDA O MUERTE
En la expansión del binomio (1+√x)^21 Un grupo de términos son irracionales y el otro grupo de términos son racionales. Calcular el número de términos racionales.

Answer 1

El número de términos con exponente racional en la expansión del binomio  $(1~+~\sqrt{x})^{21}$  es 11, la mitad de los términos de la expansión.

Explicación paso a paso:

El binomio dado se expande aplicando el llamado binomio de Newton:      

$\bold{(a~\pm~b)^n~=~\Sigma\limits^n_{i=0} (\begin{array}{c}n\\i\end{array}) (a)^{(n-i)}b^i}$

donde  

a,  b  son los términos del binomio

n  es un entero positivo  

$\bold{(\begin{array}{c}n\\i\end{array})}$  es el número combinatorio de  n  elementos tomados de  i  en  i

En el caso del binomio que nos ocupa,  n  =  21,  lo que implica que la expansión tiene  22  términos.

La mitad de esos términos tienen valores impares de  i,  y estos son los que nos interesan, ya que  el término  b  del binomio original (el radical) tiene ese exponente  i  en la expansión.

Todos los términos con  b  y exponente  i  impar en la expansión queda con exponente racional en la variable  x, por tanto podemos concluir

El número de términos con exponente racional en la expansión del binomio  $\bold{(1~+~\sqrt{x})^{21}}$  es 11, la mitad de los términos de la expansión. Los otros  11  términos,. los que tienen valores pares de  i,  tienen exponente entero.