Question

Cuantos términos de la sucesión aritmética 5, 13, 21, . . . deben sumarse para obtener 1620?

Answer 1

Respuesta:

Espero que te sirva :)

Explicación:

• Para realizar esta operación hay que generalizar la sucesión:

5 = 5

13 = 5 + 8

21 = 5 + 8*2

Si  sumamos los términos tenemos:

S = 5 + (5 + 8) + (5 + 8*2) + ...... + $5n + 8 * \frac{(n)(n-1)}{2}$

Porque la suma de los "n" primeros números naturales es: (n)(n+1)/2 , pero en este caso se quiere la suma de los "n-1" primeros números naturales para darle la forma que se sacó al reagrupar términos, entonces reemplazando n por n-1 nos queda la expresión que se encuentra anteriormente, que es: (n-1)(n)/2

• Ahora igualamos la expresión y despejamos n (número de términos):

$5n + 8 * \frac{(n)(n-1)}{2}=1620\\5n+4*(n)(n-1)=1620\\5n+(4n)(n-1)=1620\\5n+4n^{2}-4n=1620\\4n^{2}+n =1620\\4n^{2}+n-1620=0$

• Ahora tenemos una ecuación cuadrática, por lo que esto resolvemos por la resolvente $n_{1,2}=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4*a*c } }{2*a}$ donde:

a = 4

b = 1

c = -1620

$n_{1,2}=\frac{-1+-\sqrt{1^{2}-4*4*(-1620) } }{2*4}=\frac{-1+-\sqrt{1+25920} }{8}=\frac{-1+-\sqrt{25921} }{8 }=$

$n_{1}=\frac{-1+161}{8}=\frac{160}{8}=20\\n_{2}=\frac{-1-161}{8}=\frac{-162}{8}=-20,25$

Nos quedamos con el valor positivo. Entonces hay que sumar 20 términos para obtener 1620.