Respuestas
Respuesta:desigualdad HM-GM es cierta para cualesquiera n´umeros x1, . . . , xn positivos y viene
dada por
n
1
x1
+ · · · +
1
xn
≤
√n x1 · · · xn,
cumpli´endose la igualdad si y solo si x1 = · · · = xn.
Ejemplo 1.2. Sean a, b y c n´umeros reales positivos tales que a + b + c = 2. Probar
ab
p
(a + c)(b + c)
+
bc
p
(a + b)(a + c)
+
ac
p
(a + b)(b + c)
≤ 1.
Utilizando la desigualdad HM-GM tenemos que
p
(a + c)(b + c)
ab =
r
a + c
ab ·
b + c
ab ≥
2
ab
a+c
ab
b+c
⇐⇒
1
2
ab
a + c
+
ab
b + c
≥
ab
p
(a + c)(b + c)
.
An´alogamente
1
2
bc
a + b
+
bc
a + c
≥
bc
p
(a + c)(b + c)
y
1
2
ac
a + b
+
ac
b + c
≥
ac
p
(a + b)((b + c))
.
Por comodidad a la hora de escribir denotamos por f(a, b, c) la suma
f(a, b, c) = ab
p
(a + c)(b + c)
+
bc
p
(a + b)(a + c)
+
ac
p
(a + b)(b + c)
.
El resultado se sigue de sumar estas tres desigualdades que acabamos de obtener y teniendo
en cuenta que a + b + c = 2,
f(a, b, c) ≤
1
2
ab
a + c
+
ab
b + c
+
bc
a + b
+
bc
a + c
+
ac
a + b
+
ac
b + c
=
1
2
ab + ac
b + c
+
ab + bc
a + c
+
bc + ac
a + b
=
a + b + c
2
= 1
Desigualdad AM-QM. La ´ultima de las desigualdades de este apartado la vamos a
obtener tomando a = x y b = y, con x e y reales no negativos, en la desigualdad (1). De
este modo
2xy ≤ x
2 + y
2 ⇐⇒ (x + y)
2 ≤ 2(x
2 + y
2
) ⇐⇒
x + y
2
≤
r
x
2 + y
2
2
cumpli´endose la igualdad si y solo si x = y. La parte de la derecha es la media cuadr´atica
de los n´umeros x e y, por lo que a esta desigualdad se la conoce como desigualdad entre
la media aritm´etica y la media cuadr´atica, o simplemente desigualdad AM-QM —por el
Explicación paso a paso: