Question

Una persona se encuentra en la ventana de un edificio y observa un gato al otro lado de la vereda con un ángulo de depresión de 70°. Calcular el ancho de la vereda si la ventana mide 25m.

Answer 1

El ancho de la vereda es de aproximadamente 9.099 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura de la ventana, donde se encuentra el observador mirando al gato el cual se ubica al otro lado de la vereda , el lado BC que representa el ancho de la vereda y el lado AC que es la longitud visual desde lo alto de la ventana hacia el gato, con un ángulo de depresión de 70°

Donde se pide hallar:

El ancho de la vereda

Por ser ángulos alternos internos -que son homólogos- se traslada el ángulo de 70° al punto C para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura de la ventana y de un ángulo de depresión de 70°

• Altura de la ventana = 25 metros

• Ángulo de depresión = 70°

• Debemos hallar el ancho de la vereda

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB = altura de la ventana), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 70° y debemos hallar el ancho de la vereda, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(70)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(70)^o = \frac{altura \ de \ l a \ ventana }{ ancho\ de \ l a \ vereda } }}$

$\boxed { \bold { ancho\ de \ l a \ vereda = \frac{ altura \ de \ l a \ ventana }{ tan(70)^o } }}$

$\boxed { \bold { ancho\ de \ l a \ vereda = \frac{ 25 \ metros }{ tan(70)^o } }}$

$\boxed { \bold {ancho\ de \ l a \ vereda = \frac{ 25 \ metros }{ 2.7474774194546 }} }$

$\boxed { \bold { ancho\ de \ l a \ vereda \approx 9.099255 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { ancho\ de \ l a \ vereda \approx 9.099 \ metros}}$

El ancho de la vereda es de aproximadamente 9.099 metros