Question

6.- Una rueda que gira a 300 r.p.m. Aumenta su velocidad bajo una aceleración angular de 6 rad/s2;

calcula:
a) La velocidad angular después de 10 s.
b) El número de vueltas que da en ese tiempo.

Respuestas: of = 873.0 r.p.m.
0 = 97.746 vueltas.

Pueden darme la explicación de los resultados, por favor? ​

Answer 1

a) La velocidad angular de la rueda después de 10 segundos es de 873 r.p.m.

b) El número de vueltas que da en ese tiempo de es de 97.746

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado,

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

El desplazamiento de la partícula es más veloz o más lento según transcurre el tiempo.  

Si la velocidad angular aumenta, la aceleración angular será positiva, donde tendríamos un caso de movimiento circular uniformemente acelerado. Por el contrario  si la velocidad angular disminuye, la aceleración  angular será negativa, y estaríamos en presencia de un caso de movimiento circular uniformemente retardado

Solución

En este ejercicio siendo la aceleración dada de valor positivo se trata de un caso de movimiento circular uniformemente acelerado.

a) Hallamos la velocidad angular

Empleando la ecuación:

$\large\boxed{\bold{\omega=\omega_{0} \ + \ \alpha \ . \ t }}$

Donde      

$\textsf{Velocidad angular } \ \ \ \bold { \omega }$

$\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} }$

$\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha }$

$\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t }$

Donde la aceleración es de:

$\large\boxed{\bold{ \alpha = 6 \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

Donde como una circunferencia completa equivale a 2π radianes

Y en un minuto se tienen 60 segundos

$\large\boxed{\bold{\alpha =6\ \frac{ \frac{1}{2\pi}rev}{\left(\frac{1}{60}\ min^{2}\right)} }}$

$\boxed{\bold{ \alpha = 6 \ . \ \frac{60^{2} }{2\pi } \ \frac{rev}{min^{2} } } }$

Convertimos el tiempo a minutos

Sabiendo que en 1 minuto se tienen 60 segundos

$\boxed{\bold{t = 10 \ s = \frac{1 \ min }{60\ s } = \frac{10}{60}\ min } }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\large\boxed{\bold{\omega=\omega_{0} \ + \ \alpha \ . \ t }}$

$\boxed{\bold{ \omega = \left(300 \ \frac{rev}{min}\right)+ \left(6 \ . \ \frac{60^{2} }{2\pi } \ \frac{rev}{min }\right) \ . \ \left(\frac{10}{60 } \ min\right) }}$

$\boxed{\bold{ \omega = \left(300 \ \frac{rev}{min}\right)+ \left(6 \ . \ \frac{3600 }{2\pi } \ \frac{rev }{min^{2} }\right) \ . \ \left(\frac{10}{60 } \ min\right) }}$

$\boxed{\bold{ \omega = \left(300 \frac{rev}{min}\right)+ \left( \frac{10800}{2\pi } \ \frac{rev}{min^{2} }\right) \ . \left(\frac{10}{60 } \ min\right) }}$

$\boxed{\bold{ \omega = \left(300 \frac{rev}{min}\right)+ \left( \frac{10800}{2\pi } \ \frac{rev}{min }\right) }}$

$\boxed{\bold{ \omega = 872.9597 \ rpm }}$

$\large\boxed{\bold{ \omega = 873 \ rpm }}$

La velocidad angular de la rueda después de 10 segundos es de 873 r.p.m.

b) Hallamos el número de vueltas que da la rueda en 10 segundos

Empleando la ecuación:

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0}\ . t+ \frac{1}{2} \alpha \ t^{2} }}$

Donde      

$\textsf{Desplazamiento angular } \ \ \ \bold { \theta }$

$\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} }$

$\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha }$

$\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t }$    

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0}\ . t+ \frac{1}{2} \alpha \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{\bold{ \theta = \left(300 \ \frac{rev}{\not min}\right)\ . \left( \frac{10}{60}\ \not min \right)+ \frac{1}{2} \ \left(6 \ . \ \frac{60^{2} }{2\pi } \ \frac{rev}{min }\right)\ . \left( \frac{10}{60} \ min \right)^{2} }}$

$\boxed{\bold{ \theta = 300 \ rev\ \ . \left( \frac{10}{60} \right)+ \frac{1}{2} \ \left(6 \ . \ \frac{3600 }{2\pi } \ \frac{rev}{\not min^{2} }\right)\ . \left( \frac{100}{3600} \ \not min^{2} \right) }}$

$\boxed{\bold{\theta = (50 \ rev) + \frac{1}{2} \ \left( \frac{10800 }{\pi } \ rev\right) \ . \left( \frac{100}{3600} \right) } }$

$\boxed{\bold{\theta = (50 \ rev) + \frac{1}{2} \ \left( \frac{300 }{\pi } \ rev\right) } }$

$\boxed{\bold{ \theta =(50 \ rev)+ \ \left( \frac{150 }{\pi } \ rev\right) }}$  

$\boxed{\bold{ \theta =97.74648 \ vueltas }}$

$\large\boxed{\bold{ \theta =97.746 \ vueltas }}$

El número de vueltas que da en ese tiempo de es de 97.746

Answer 2

La polea que gira a 600 rpm tiene una velocidad a los 10 segundos de 91.42 rad/s

La rueda describe un movimiento circular uniforme.

¿Cómo se determina la velocidad y el número de vueltas?

Para resolver este problema realizaremos el siguiente procedimiento:

1. Conversión de unidades.
2. Calculo de la velocidad angular a los 10 segundos.
3. Calcular el recorrido a los 10 segundos.
4. Calcular el número de vueltas a los 10 segundos.

Datos:

ω₀ = 300 rpm

α = 6 rad/s^2

A continuación explicamos el procedimiento.

Paso 1: conversión de unidades:

La velocidad angular expresada en radianes por segundos es:

ω = 300 (rev/min) * (1 min/60s) * (2πrad/1 rev)

ω = 31.42 rad/s

El radio expresado en metros es:

R = D/2 = 40/2 cm * 1 m/100cm

R = 0.2 m

• Paso 2: cálculo de la velocidad angular a los 10 segundos:

Sustituyendo en la fórmula de velocidad:

ω = ω₀ + α * t

ω = 31.42 + 6*10

ω = 91.42 rad/s

• Paso 3: Cálculo de la trayectoria:

Sustituyendo los valores en la ecuación de trayectoria:

Δθ = ω₀ * t + (1/2) * α * t²

Δθ = 31.42 * 10 + (1/2) * 6 * 10²

Δθ = 614.2 rad

• Paso 4: cálculo del número de vueltas:

Ya que se conoce el recorrido se puede determinar el número de vueltas, sabiendo que una vuelta es  2πrad:

N = recorrido / 2πrad

N = 614.2/2π

N = 97.7 vueltas

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