Question

integral por sustitución el punto 55,espero su ayuda.

Answer 1

Tu ejercicio es el siguiente:

$\int\limits{ \frac{ 3t^{2}+1 }{t(t ^{2}+1 )} } \, dt$

Hallar su primitiva..

Bueno antes de eso vamos revisando algunas propiedades que debes saberlas manejar...

$\frac{A+B}{CD} = \frac{A}{CD}+ \frac{B}{CD}$
si verdad?...cuando tenemos fracciones homogéneas...se aplica ésto verdad?...listo
$\int\limits^b_a ({f(x)+g(x)+h(x)+...}) \, dx = \int\limits^b_a {f(x)dx+\int\limits^b_a {g(x)dx+\int\limits^b_a {h(x)dx+...$
Así que se cumple la propiedad de las integrales de la suma

Además
$\int\limits^b_a {kx} \, dx =k \int\limits^b_a {x} \, dx$
Donde "k" es una constante.
$\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx =ln(|x|)+C$

Ahora sí resolvamos el ejercicio aplicando todo ésto...

$\int\limits{ \frac{ 3t^{2}+1 }{t(t ^{2}+1 )} } \, dt=\int\limits{ (\frac{ 3t^{2} }{t(t ^{2}+1 )} } + \frac{1}{t(t ^{2}+1 )}) \, dt=\int\limits{ \frac{ 3t^{2} }{t(t ^{2}+1 )} } \, dt+\int\limits{ \frac{1 }{t(t ^{2}+1 )} } \, dt=... \\ \\ ...=\int\limits{ \frac{ 3t }{(t ^{2}+1 )} } \, dt+ \int\limits { \frac{1}{t(t ^{2}+1) } } \, dt= 3\int\limits{ \frac{t}{ t^{2}+1 } } \, dt + \int\limits { \frac{1}{t(t ^{2}+1) } } \, dt$

Hasta aquí nada nuevo verdad?...solo hemos aplicado las propiedades que hemos visto al comienzo...ahora vamos a derivar cada una de esas sumas..

$3 \int\limits { \frac{t}{ t^{2}+1 } } \, dt$
Aquí podemos integrar por sustitución...consideremos 
$u= t^{2} +1$
Derivando nos queda
$du=2tdt \\ dt= \frac{du}{2t}$
Entonces nos quedaría así
$3 \int\limits { \frac{t}{ t^{2}+1 } } \, dx=3 \int\limits { \frac{t}{ u } } \, ( \frac{du}{2t})=3 \int\limits { \frac{1}{ u } } \, ( \frac{du}{2})= \frac{3}{2} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = \frac{3}{2} (ln(|u|))=... \\ \\ ...= \frac{3}{2} ln(| t^{2}+1 |)$
Listo..alguna duda?...todavía no aumentamos la constante de integración al final lo haremos...
Ahora integremos la otra integral que dejamos

$\int\limits { \frac{1}{t( t^{2}+1 )} } \, dt$ 
Aquí lo que vamos a hacer es resolver usando fracciones parciales...el segundo caso...que nos dice:
"Tienes una fracción con el denominador con factores no lineales y no se repiten?...entonces realizamos el siguiente procedimiento"

$\frac{1}{t( t^{2}+1 )} = \frac{A}{t}+ \frac{Bt+C}{ t^{2}+1 }$
Es decir vamos a representar esa fracción como la suma de dos fracciones...(para eso consideramos una ecuación de menor grado al que tengamos en el denominador...menor grado de "t" es una constante (A) y menor grado de una cuadrática es una ecuación lineal (Bt+C))ahora realizamos esa suma normalmente 

$\frac{A}{t}+ \frac{Bt+C}{ t^{2}+1 }= \frac{A( t^{2}+1 )+(Bt+C)t}{t( t^{2}+1 )} = \frac{A t^{2}+A+B t^{2}+Ct }{t( t^{2}+1 )} = \frac{A t^{2}+B t^{2} +Ct+A }{t( t^{2}+1 )}=... \\ \\ ...= \frac{(A+B) t^{2}+Ct+A }{t( t^{2}+1 )}$

En definitiva nos queda
$\frac{1}{t( t^{2}+1 )}=\frac{(A+B) t^{2}+Ct+A }{t( t^{2}+1 )}$
Ahora voy a hacer algo que espero estés de acuerdo
$\frac{1}{t( t^{2}+1 )}= \frac{0 t^{2}+0t+1 }{t( t^{2}+1 )} =\frac{(A+B) t^{2}+Ct+A }{t( t^{2}+1 )}$

Ahora te parece como que si multiplicamos en cruz los denominador se simplifican?...entonces nos quedaría así

$0 t^{2} +0t+1=(A+B) t^{2}+Ct+A$
Ahora usamos el álgebra igualando los COEFICIENTES de cada variable con su respectiva variable..y nos queda un sistema de ecuaciones...

$A+B=0 \\ C=0 \\ A=1$ 
Bastante sencillo verdad?..C vale cero entonces solo reemplazamos A en la primera ecuación

$B+1=0 \\ B=-1$ entonces nos quedaría así las soluciones
$A=1 \\ B=-1 \\ C=0$
Con éstos valores volvemos a donde planteamos la ecuación con éstas letras

$\frac{1}{t( t^{2}+1 )} = \frac{A}{t}+ \frac{Bt+C}{ t^{2}+1 } = \frac{1}{t} + \frac{-1(t)+0}{ t^{2}+1 } = \frac{1}{t} - \frac{t}{ t^{2}+1 }$
Y ahora si integramos ésto

$\int\limits {\frac{1}{t( t^{2}+1 )}} \, dt= \int\limits{(\frac{1}{t} - \frac{t}{ t^{2}+1 })} \, dt= \int\limits { \frac{1}{t} } \, dt- \int\limits { \frac{t}{ t^{2}+1 } } \, dt=ln(|t|) - \int\limits { \frac{t}{t^{2}+1 } } \, dt$

Esa última integral podemos resolverla por sustitución
consideremos y derivemos

$u= t^{2} +1 \\ du=2tdt \\ dt= \frac{du}{2t}$
Ahora reemplacemos
$\int\limits { \frac{t}{t^{2}+1 } } \, dt=\int\limits { \frac{t}{u } } \, \frac{du}{2t}= \int\limits { \frac{1}{u } } \, \frac{du}{2}= \frac{1}{2}\int\limits { \frac{1}{u } } \,du= \frac{1}{2} ln(|u|) =\frac{1}{2} ln(| t^{2}+1 |)$

Ahora juntando todo
$\int\limits{ \frac{3 t^{2}+1 }{t( t^{2}+1 )} } \, dt= 3\int\limits { \frac{t }{ t^{2}+1} } \, dt+ \int\limits{ \frac{1}{t( t^{2}+1 )} } \, dt=... \\ \\ ...= \frac{3}{2} ln(| t^{2}+1 | ) -\frac{1}{2} ln(| t^{2}+1 | )+ln(|t|)+C=... \\ \\ ...=ln(| t^{2}+1 |)+ln(|t|)+C$

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisa