Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra u otras herramientas.
A. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos T (-4,5,7), P (10,4,1) y Q (4,16,-3)? Desarrolle el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
Respuestas
La ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C es:
π: -42x - 16y + 99z =768
En la imagen se puede ver la gráfica del plano.
Explicación:
Dados,
A(4,-9,7)
B(3,6,9)
C(-3,-3,5)
Iniciamos hallando la normal del plano;
Es el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano;
n = AB × AC
Siendo;
AB = (3-4, 6+9, 9-7)
AB = (-1, 15, 2)
AC = (-3-4, -3+9, 5-7)
AC = (-7, 6, -2)
Sustituir;
= i [(15)(-2)-(6)(2)] -j [(-1)(-2)-(-7)(2)]+ k [(-1)(6)-(-7)(15)]
= i(-42)-j(16)+k(99)
= -42 i - 16 j + 99 k
n = (-42, -16, 99)
Se tiene un punto P(x, y, z) perteneciente al plano;
El vector AP;
PA = (x-4, y+9, z-7)
Siendo este vector ⊥ al plano;
Si dos vectores son perpendiculares entonces su producto punto es igual a cero;
PA • n = 0
Sustituir;
(x-4, y+9, z-7)•(-42, -16, 99) = 0
-42(x-4) - (y+9)16 + (z-8)99 = 0
-42x + 168 - 16y - 144 + 99z -792 =0
Agrupar términos semejantes;
-42x - 16y + 99z =768