Respuestas
Respuesta:
1. Conjuntos, relaciones y funciones
1.1. Conjuntos.
Definici´on. Un conjunto A es una colecci´on de objetos tales que, dado un objeto
cualquiera v, se puede determinar si v pertenece a A o no.
Ejemplos. Algunos ejemplos f´aciles de conjuntos:
1. A = {1, 2, 3}.
2. A = { , △, }.
3. A = ∅ = {} es el conjunto vac´ıo, que no tiene ning´un elemento.
4. A = {n´umeros enteros}.
Si A es un conjunto y v es un elemento cualquiera, notamos v ∈ A si v pertenece
al conjunto A y v 6∈ A si el elemento v no pertenece al conjunto A.
Definici´on. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un subconjunto de B o que A est´a contenido, o incluido, en B (y escribimos A ⊂ B) si
todo elemento v ∈ A satisface que v ∈ B.
Muchas veces es ´util tener en claro qu´e quiere decir que un conjunto no est´e incluido en otro. Lo contrario de “todo elemento de A est´a en B” es “existe al menos
un elemento en A que no est´a en B”. Esto es, para probar que A 6⊂ A, es necesario
encontrar (o probar que existe) un elemento x ∈ A tal que x /∈ B.
Ejercicios. Decidir si son ciertas las siguientes afirmaciones y en caso afirmativo
demostrarlas:
1. {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}.
2. {1, 2, 3} ⊂ {{1}, 2, 3, 4}.
3. ∅ ⊂ {1, {1}}.
¿C´omo podemos explicitar un conjunto A? Hasta aqu´ı conocemos una ´unica
manera: listando todos sus elementos. ¿C´omo podemos explicitar un conjunto de
otra manera? La respuesta es por comprensi´on. Esto es, dando alguna propiedad
que cumplen los elementos que est´an en el conjunto y no cumplen los elementos
que no est´an en el conjunto. Un primer ejemplo (que presenta problemas) es B =
{n : n es par}. Este ejemplo tiene el problema de que no se dice qu´e n´umeros se
consideran. Todos entendemos que 2 ∈ B. Pero ¿−2 ∈ B? Cuando se escribe n
en la definici´on de B, se consideran tambi´en n´umeros negativos? ¿Y otro tipo de
n´umeros? La soluci´on a este problema es decir precisamente a qu´e tipo de elementos
nos referimos cuando decimos “n es par”. La forma correcta entonces de definir este
conjunto es B = {n ∈ N : n es par} (si es que queremos trabajar solo con n´umeros
positivos), o B = {n ∈ Z : n es par} (si es que queremos trabajar tambi´en con
n´umeros negativos)
Explicación: