Question

Una persona de 1,8 metros de altura se encuentra ubicada a 24 metros de un árbol y observa la copa de este con un ángulo de elevación de 30° ¿Cuál es la altura del árbol?

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 15.656 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.  

Se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados.

Mencionaremos el que se relaciona con el problema

• Dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado)

Solución

Se resolverá el problema de este modo

La visual del observador se halla a 1,80 metros por encima del plano del piso o del suelo

Por tanto, el ángulo de elevación dado por enunciado está por encima del nivel del suelo

Luego se ha trazado una línea paralela al suelo que está a la altura de los ojos del observador, por lo tanto se hallará primero una porción de la altura del árbol

Calculada esta porción, se le sumará la altura del la persona para determinar la altura total del árbol

Representamos la situación en un  triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a una porción de la altura del árbol, el lado BC que representa la distancia del observador hasta el árbol y el lado AC que es la proyección visual del observador hasta la copa del árbol al cual observa con un ángulo de elevación de 30°

Donde se pide hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

$\boxed{\bold { tan (30)^o= \frac{\ \sqrt{3} }{ 3 } }}$

$\boxed { \bold { tan(30)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan(30)^o = \frac{ porcion\ altura \ arbol }{ distancia\ persona \ a \ arbiol } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold {porcion\ altura \ arbol = distancia \ oersona \ a \ arbol \ . \ tan(30) ^o }}$

$\boxed { \bold {porcion\ altura \ arbol = 24 \ m \ . \ tan(30)^o }}$

$\boxed { \bold {porcion\ altura \ arbol = 24 \ m \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }}$

$\boxed { \bold {porcion\ altura \ arbol = \not 3 \ . \ 8 . \ \frac{\sqrt{3} }{\not 3} \ m \ }}$

$\large\boxed { \bold {porcion\ altura \ arbol = 8\sqrt{3} \ m \ \approx 13.856 \ m }}$

La porción de altura del árbol es de 8√3 m o de aproximadamente 13.856 m

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia al árbol es de 24 metros

Y es el lado opuesto al ángulo de 60° mide k√3

$\boxed{\bold {distancia\ al\ arbol =24 \ m = k \sqrt{3} }}$

Despejamos a k

$\boxed{\bold { k \sqrt{3} = 24 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 24 }{\sqrt{3} } }}$

El valor de la constante k es 24/√3

La porción de la altura del árbol es el lado opuesto al ángulo de 30°

Y al ser el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k

$\boxed{\bold {porcion\ altura\ arbol = 1k } }$

Reemplazamos a la constante k

$\boxed{\bold { porcion\ altura\ arbol = 1 \ . \ \frac{ 24 }{\sqrt{3} } \ m } }$

Operamos para quitar la raíz del denominador

$\boxed{\bold { porcion\ altura\ arbol = \frac{ 24 \ m }{ \sqrt{3} }\ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold {porcion\ altura\ arbol = \frac{ 24\ \sqrt{3} }{ \sqrt{3}^{2} }\ m } }$

$\boxed{\bold {porcion\ altura\ arbol = \frac{ 24 \ \sqrt{3} }{ 3 } \ m } }$

$\boxed{\bold {porcion\ altura\ arbol = \frac{ \not 3 \ . \ 8 \ \sqrt{3} }{ \not 3 } \ m } }$

$\large\boxed { \bold {porcion\ altura \ arbol = 8\sqrt{3} \ m \ \approx 13.856 \ m }}$

Se arribó al mismo resultado

Para obtener la altura total del árbol le sumamos a la porción hallada en el paso anterior la altura del observador

$\boxed { \bold { Altura \ Arbol = 13.856 \ m + 1,80 \ m }}$

$\large\boxed { \bold { Altura \ Arbol \approx 15.656 \ metros }}$

La altura del árbol es de aproximadamente 15.656 metros