Respuestas
Respuesta:
. Sumando los t´erminos correspondientes de estas dos progresiones se obtienen
sucesivamente los n´umeros 85, 76 y 84, y sumando los tres t´erminos de la progresi´on
aritm´etica resulta 126. Encuentra los t´erminos de ambas progresiones.
Soluci´on.
Si los n´umeros en p. a. son a − d, a, a + d y los n´umeros en p. g. son br−1
, b, br, se tienen
las ecuaciones
a − d + br−1 = 85
a + b = 76
a + d + br = 84
3a = 126.
La ´ultima da a = 42, entonces la segunda b = 34. Sumando las otras dos ecuaciones
obtenemos
2a + b(r
−1 + r) = 169.
Como conocemos ya a y b, se trata de una ecuaci´on de segundo grado para r. Resultan
las soluciones
r = 2, d = −26 o bien r =
1
2
, d = 25.
Las progresiones son
68, 42, 16 17, 42, 67
o bien
17, 34, 68 68, 34, 17
65. Demuestra que todos los n´umeros de la sucesi´on 49, 4489, 444889, . . ., obtenidos intercalando un 48 en el centro del n´umero precedente, son cuadrados perfectos.
Soluci´on.
4
(k)
. . . 48 (k−1)
. . . 89 = 4 · 1
(k)
. . . 1 · 10k+1 + 8 · 1
(k)
. . . 1 + 1
= 4 ·
10k+1 − 1
9
· 10k+1 + 8 ·
10k+1 − 1
9
+ 1
= 4 ·
10k+1 − 1
9
· (10k+1 + 1 + 1) + 1
= 4 ·
102(k+1) − 1
9
+ 4 ·
10k+1 − 1
9
+ 1
= 4 ·
102(k+1)
9
+ 4 ·
10k+1
9
+
1
9
=
2
3
· 10k+1 +
1
3
2
=
2 · 10k+1 + 1
3
2
,
y este es el cuadrado de un n´umero entero, ya que
2 · 10k+1 + 1
3
= 1 +
6(10k+1 − 1)
9
= 6 (k−1)
. . . 67.
Explicación paso a paso: