Como despejar cada una de las literales de la siguiente formula:
ley del paralelogramo
Vr²=V1²+V2²+2V1·V2(cosθ)
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2
1) Respecto de la primera pregunta, la resultante de mayor módulo posible es aquella que se logra cuando los dos vectores están alineados (misma dirección) y tienen igual sentido, entonces:
|V1+V2| = |V1| + |V2| = 4 + 6 = 10
La resultante de menor módulo se logra cuando ambos vectores están alineados (igual dirección) pero sus sentidos son opuestos, entonces:
|V1+V2| = |V2| - |V1|
donde considero V2 el que tiene módulo 6 (porque se enuncian primero el de 4 y luego el de 6 entonces llamo1 al de 4 y 2 al de6) para que dé positivo el módulo del vector suma.
De lo anterior se desprende queel valor de los módulos posibles sumando vectorialmente ambos vectores en diversos ángulos puede variar entre un mínimo de 2 y un máximo de 10:
2 ≤ |V1+V2| ≤ 10
Supongo que viste al menos gráficamente la suma de dos vectores mediante la regla del paralelogramo. Analíticamente se puede deducir que dicha suma es:
R (resultante) = √ ( V1² + V2² + 2 V1 V2 cos α)
( en esta expresión para simplificar no puse las barras de módulo, pero tanto la resultante como los vectores se toman en módulo, o sea |R|, |V1| y |V2| )
El valor del cos α puede variar entre -1 y 1 teniéndose los dos siguentes valores extremos:
a) si cos α = 1 (alineados y con igual sentido):
|R| = √ ( |V1|² + |V2|² + 2 |V1| |V2| cos α) = √ ( |V1|² + 2 |V1| |V2| + |V2|² ) = √ ( |V1| + |V2| ) = |V1| + |V2|
b) si cos α = -1 (alineados y con sentido contrario):
|R| = √ ( |V1|² + |V2|² + 2 |V1| |V2| cos α) = √ ( |V2|² - 2 |V1| |V2| + |V1|² ) = √ ( |V2| - |V1| ) = |V2| - |V1|
donde el radicando erá positivo pero su raiz puede ser + ó - y yo elgí que dé positiva restandop V1 a V2 porque el resultado es un módulo, y los módulos son siempre positivos.
Para que dé 7 planteamos:
R² = V1² + V2² + 2 V1 V2 cos α
7² = 4² + 6² + 2 . 4 . 6 cos α
cos α = (49 - 16 - 36)/48 = -1/16 = -0.625
α = ±93.6º
========
En realidad que sea + o - es lo mismo porque signifia que lo medimos desde V1 a V2 o al revés (el mismo ángulo absoluto con distinto signo)
Si hacemos esto mismo para R=12 veremos que da un imposible:
cos α = (12² - 4² - 6²) / (2 . 4 . 6) = 1.769
pero NO EXISTE un ángulo α cuyo coseno supere 1, entonces tal resulatante NO es lograble con esos vectores.
* Al final agregué un esquema gráfico, ver "mis fuentes"
2) Vamos al segundo:
Yo entiendo que si el avión desea volar a 900 km/h esa es la velocidad RESULTANTE sobre la tierra
Las direcciones tienen un cierto grado de confusión. Si dices "en dirección sur" me suena de norte a sur (o sea en dirección norte-sur sentido al sur, o hacia el sur).
Pero en navegación viento sur significa de sur a norte.
Más problemático es el segundo caso porque dice S45ºE y en navegación se dice viento SE (sud-este) a 45º si PROVIENE del sudeste y apunta al noroeste, acá parece querer decir al revés: va hacia el SE 45º proveniente del NO (nor-oeste).
Te hago referencia a estas imágenes:
http://img63.imageshack.us/img63/8996/vi...
a) Viento yendo HACIA el sur:
El avión debe apuntar ligeramente hacia el norte (o sea este-nor-este) tal que:
tan θ = 100/900 = 0.111 => θ = 6.34º
La velocidad relativa al viento (o sea a la masa de aire en movimiento) será, por Pitágoras:
Va = √(900²+100²) = 905.5 km/h
=========================
con
θ = 6.34º
=======
medido respecto de la dirección este.
En navegación se mide respecto del norte y el rumbo sería:
90-6.34º = 83.66º, pero no se usa tanta precisión, y se suele dar " 84º ".
b) Viento yendo HACIA el sudeste a 45º
La velocidad real de 900 km/h es la resultante de la del avión respecto de la masa de aire (Va) y la del viento (Vv) esto también era así en el caso previo, pero en aquel era más fácil el planteo.
Una forma de hacerlo es tener en cuenta entonces que, vectorialmente:
__ . .__ . .__
Vr = Va + Vv
en donde Va y Vv forman un ángulo α entre sí.
Ya habíamos visto que analíticamente al componer vectores tenemos:
Vr² = Va² + Vv² + 2 Va Vv cos α
Pero tenemos dos incógnitas: Va y α
Entonces nos tendresmos que basar en un método gráfico para trabajar con las proyecciones:
Proyectando Vv sobre Vr tenemos
Vv ' = Vv cos 45º = 70.7 km/h
La proyección de va sobre Vr será:
Va cos θ = Vr - Vv ' = 900 km/h - 70.7 km/h = 829.3 km/h
Además:
Va sen θ = Vv sen 45º = 70.7 km/h
Deducimos que:
Va² = 829.3² + 70.7² = 692720.3 km²/h²
va = 832.3 km/h
=============
y
tan θ = 70.7 / 829.3 = 0.085
θ = 4.87º
=======
|V1+V2| = |V1| + |V2| = 4 + 6 = 10
La resultante de menor módulo se logra cuando ambos vectores están alineados (igual dirección) pero sus sentidos son opuestos, entonces:
|V1+V2| = |V2| - |V1|
donde considero V2 el que tiene módulo 6 (porque se enuncian primero el de 4 y luego el de 6 entonces llamo1 al de 4 y 2 al de6) para que dé positivo el módulo del vector suma.
De lo anterior se desprende queel valor de los módulos posibles sumando vectorialmente ambos vectores en diversos ángulos puede variar entre un mínimo de 2 y un máximo de 10:
2 ≤ |V1+V2| ≤ 10
Supongo que viste al menos gráficamente la suma de dos vectores mediante la regla del paralelogramo. Analíticamente se puede deducir que dicha suma es:
R (resultante) = √ ( V1² + V2² + 2 V1 V2 cos α)
( en esta expresión para simplificar no puse las barras de módulo, pero tanto la resultante como los vectores se toman en módulo, o sea |R|, |V1| y |V2| )
El valor del cos α puede variar entre -1 y 1 teniéndose los dos siguentes valores extremos:
a) si cos α = 1 (alineados y con igual sentido):
|R| = √ ( |V1|² + |V2|² + 2 |V1| |V2| cos α) = √ ( |V1|² + 2 |V1| |V2| + |V2|² ) = √ ( |V1| + |V2| ) = |V1| + |V2|
b) si cos α = -1 (alineados y con sentido contrario):
|R| = √ ( |V1|² + |V2|² + 2 |V1| |V2| cos α) = √ ( |V2|² - 2 |V1| |V2| + |V1|² ) = √ ( |V2| - |V1| ) = |V2| - |V1|
donde el radicando erá positivo pero su raiz puede ser + ó - y yo elgí que dé positiva restandop V1 a V2 porque el resultado es un módulo, y los módulos son siempre positivos.
Para que dé 7 planteamos:
R² = V1² + V2² + 2 V1 V2 cos α
7² = 4² + 6² + 2 . 4 . 6 cos α
cos α = (49 - 16 - 36)/48 = -1/16 = -0.625
α = ±93.6º
========
En realidad que sea + o - es lo mismo porque signifia que lo medimos desde V1 a V2 o al revés (el mismo ángulo absoluto con distinto signo)
Si hacemos esto mismo para R=12 veremos que da un imposible:
cos α = (12² - 4² - 6²) / (2 . 4 . 6) = 1.769
pero NO EXISTE un ángulo α cuyo coseno supere 1, entonces tal resulatante NO es lograble con esos vectores.
* Al final agregué un esquema gráfico, ver "mis fuentes"
2) Vamos al segundo:
Yo entiendo que si el avión desea volar a 900 km/h esa es la velocidad RESULTANTE sobre la tierra
Las direcciones tienen un cierto grado de confusión. Si dices "en dirección sur" me suena de norte a sur (o sea en dirección norte-sur sentido al sur, o hacia el sur).
Pero en navegación viento sur significa de sur a norte.
Más problemático es el segundo caso porque dice S45ºE y en navegación se dice viento SE (sud-este) a 45º si PROVIENE del sudeste y apunta al noroeste, acá parece querer decir al revés: va hacia el SE 45º proveniente del NO (nor-oeste).
Te hago referencia a estas imágenes:
http://img63.imageshack.us/img63/8996/vi...
a) Viento yendo HACIA el sur:
El avión debe apuntar ligeramente hacia el norte (o sea este-nor-este) tal que:
tan θ = 100/900 = 0.111 => θ = 6.34º
La velocidad relativa al viento (o sea a la masa de aire en movimiento) será, por Pitágoras:
Va = √(900²+100²) = 905.5 km/h
=========================
con
θ = 6.34º
=======
medido respecto de la dirección este.
En navegación se mide respecto del norte y el rumbo sería:
90-6.34º = 83.66º, pero no se usa tanta precisión, y se suele dar " 84º ".
b) Viento yendo HACIA el sudeste a 45º
La velocidad real de 900 km/h es la resultante de la del avión respecto de la masa de aire (Va) y la del viento (Vv) esto también era así en el caso previo, pero en aquel era más fácil el planteo.
Una forma de hacerlo es tener en cuenta entonces que, vectorialmente:
__ . .__ . .__
Vr = Va + Vv
en donde Va y Vv forman un ángulo α entre sí.
Ya habíamos visto que analíticamente al componer vectores tenemos:
Vr² = Va² + Vv² + 2 Va Vv cos α
Pero tenemos dos incógnitas: Va y α
Entonces nos tendresmos que basar en un método gráfico para trabajar con las proyecciones:
Proyectando Vv sobre Vr tenemos
Vv ' = Vv cos 45º = 70.7 km/h
La proyección de va sobre Vr será:
Va cos θ = Vr - Vv ' = 900 km/h - 70.7 km/h = 829.3 km/h
Además:
Va sen θ = Vv sen 45º = 70.7 km/h
Deducimos que:
Va² = 829.3² + 70.7² = 692720.3 km²/h²
va = 832.3 km/h
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tan θ = 70.7 / 829.3 = 0.085
θ = 4.87º
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