Question

II. Dada la ecuación cuadrática f(x)=(x-5)(x+8), determine: a)vértice b) Las intersecciones con los ejes c) La gráfica

Answer 1

1) El vértice está dado por el par ordenado:

$\large\boxed{ \bold{V(h, k ) = V\left( -\frac{3}{2} , - \frac{169}{4}\right )}}$

2)

a) Los puntos de corte con el eje y están dados por el par ordenado:

$\large\boxed { \bold{ (0, -40) }}$

b) Los puntos de corte con el eje x están dados por los pares ordenados

$\large\boxed { \bold{ (-8, 0) (5, 0)}}$

3) La gráfica se encuentra en el adjunto

Solución

Sea

$\boxed{\bold { f(x)= (x-5) (x+8)}}$

La función que se adjunta describe una parábola de la forma:  

$\large\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}$

La cual abre hacia arriba porque a>0, por tanto su punto mínimo será el vértice de la función.      

Reescribimos en la forma      

$\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}$

$\boxed{\bold { f(x) =x^{2} +8x- 5x -40 }}$

$\large\boxed{\bold { f(x) =x^{2} +3x -40 }}$

1) Hallando el vértice

Sea la función

$\large\boxed{\bold { f(x) =x^{2} +3x -40 }}$

El valor mínimo de una función cuadrática cóncava hacia arriba ocurre en su vértice y está dado por:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} \ \ \ \ \ \to f \left( - \frac{b}{2a}\right) }}$

Hallaremos luego el valor de:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

Reemplazando los valores de a y b

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{3}{2 \ . 1 } }}$                    

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{3}{2 } }}$

En decimal:

$\boxed{ \bold{ x =- 1.5 }}$    

Sustituimos la variable  x  con  -3/2 en la expresión:    

$\boxed{\bold { f(x) =x^{2} +3x -40 }}$  

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) =1 \ . -\left(\frac{3}{2}\right) ^{2} +3 \ . \ \left(-\frac{3}{2}\right) -40 }}$

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) =1 \ . \left(\frac{9}{4}\right) +3 \ . \ \left(-\frac{3}{2}\right) -40 }}$

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) =\frac{9}{4}-\frac{9}{2} -40 }}$

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) =\frac{9}{4}-\left(\frac{9}{2} \ . \ \frac{2}{2}\right) -\left(40 \ . \ \frac{4}{4} \right) }}$

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) =\frac{9}{4}-\frac{18}{4} -\frac{160}{4} }}$

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) = -\frac{169}{4} }}$  

En decimal

$\boxed{\bold { f\left(-\frac{3}{2} \right) = -\frac{169}{4} = -42.25 }}$

Concluyendo que el vértice de la parábola se da en el par ordenado:

$\large\boxed{ \bold{V(h, k ) = V\left( -\frac{3}{2} , - \frac{169}{4}\right )}}$

2) Hallando la intersección con el eje Y

Puntos de corte sobre el eje y

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

$\boxed { \bold{ f(x) = a\ . \ 0^{2} + b \ .\ 0 + c }}$

$\boxed{\bold { f(x) =x^{2} +3x -40 }}$

$\boxed{\bold { f(x)= -1\ . (0)^2+3(0)-40}}$

$\boxed{\bold { f(x)= -40}}$

Los puntos de corte con el eje y están dados por

$\large\boxed { \bold{ (0, -40) }}$

3) Hallando la intersección con el eje X

Los puntos de corte con el eje x, son las raíces de la ecuación cuadrática

$\textsf{Igualamos la expresi\'on a 0 }$

$\boxed{\bold { f(x) =x^{2} +3x -40 = 0 }}$

$\textsf {Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-3 y c = -40 en la f\'ormula }$

$\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -3 \pm \sqrt{ (3)^2 - 4\ . (1\ . \ -40) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -3 \pm \sqrt{ 9 - 4\ . \ -40 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -3 \pm \sqrt{ 9 +160 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -3 \pm \sqrt{ 169 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -3 \pm \sqrt{ 13^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -3 \pm 13 }{2 } }}$        

$\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ x= 5, -8 }}$

Puntos de corte sobre el eje x

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

$\boxed {\bold { ax^{2} + bx +c = 0}}$

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte:

$\boxed {\bold { (x_{1} , 0) \ y (x_{2} , 0) }}$    $\textsf{dado que }$  $\boxed{ \bold { b^{2} - 4ac > 0}}$

Luego como hemos hallado $\bold{x_{1} \ y \ x_{2}}$

Los puntos de corte con el eje x están dados por

$\large\boxed { \bold{ (-8, 0) (5, 0)}}$