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Tu pregunta es la siguiente...
Integrar
![\int\limits { \frac{ x^{2}-1 }{x-1} } \, dx \int\limits { \frac{ x^{2}-1 }{x-1} } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D-1+%7D%7Bx-1%7D+%7D+%5C%2C+dx+)
Bueno lo que primero si te das cuenta es que en el numerador tenemos un caso de factoreo, que se llama diferencia de cuadrados...
![a^{2} - b^{2} =(a+b)(a-b) a^{2} - b^{2} =(a+b)(a-b)](https://tex.z-dn.net/?f=+a%5E%7B2%7D+-+b%5E%7B2%7D+%3D%28a%2Bb%29%28a-b%29)
apliquemos ésto al numerador...así..
entonces nuestra integral quedaría así
![\int\limits { \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)} } \, dx = \int\limits{(x+1)} \, dx \int\limits { \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)} } \, dx = \int\limits{(x+1)} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7B%28x%2B1%29%28x-1%29%7D%7B%28x-1%29%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits%7B%28x%2B1%29%7D+%5C%2C+dx+)
y ésto ya está un poco más bonito de integrar...
recordemos algunas propiedades de las integrales..
![\int\limits^b_a ({f(x)+g(x)+h(x)...}) \, dx = \int\limits^b_a {f(x)} \, dx +\int\limits^b_a {g(x)} \, dx +\int\limits^b_a {h(x)} \, dx+... \\ \\ \\ \int\limits^b_a {kf(x)} \, dx =k\int\limits^b_a {f(x)} \, dx \int\limits^b_a ({f(x)+g(x)+h(x)...}) \, dx = \int\limits^b_a {f(x)} \, dx +\int\limits^b_a {g(x)} \, dx +\int\limits^b_a {h(x)} \, dx+... \\ \\ \\ \int\limits^b_a {kf(x)} \, dx =k\int\limits^b_a {f(x)} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5Eb_a+%28%7Bf%28x%29%2Bg%28x%29%2Bh%28x%29...%7D%29+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits%5Eb_a+%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+dx+%2B%5Cint%5Climits%5Eb_a+%7Bg%28x%29%7D+%5C%2C+dx+%2B%5Cint%5Climits%5Eb_a+%7Bh%28x%29%7D+%5C%2C+dx%2B...+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cint%5Climits%5Eb_a+%7Bkf%28x%29%7D+%5C%2C+dx++%3Dk%5Cint%5Climits%5Eb_a+%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+dx+)
Éstas propiedades lo que nos garantiza, es que la integral de una varias funciones, es igual a la integral de los términos de esa función...y la segunda nos garantiza que si k pertenece a los reales, entonces k es una constante, y por lo tanto podemos sacarle de la integral...incluso con el signo..además...dos cosas mas
![\int\limits { x^{n} } \, dx = \frac{ x^{n+1} }{n+1} +C \\ \\ \\ \int\limits {k} \, dx =k\int\limits {} \, dx=k(x)+C \int\limits { x^{n} } \, dx = \frac{ x^{n+1} }{n+1} +C \\ \\ \\ \int\limits {k} \, dx =k\int\limits {} \, dx=k(x)+C](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7B+x%5E%7Bn%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cfrac%7B+x%5E%7Bn%2B1%7D+%7D%7Bn%2B1%7D+%2BC++%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cint%5Climits+%7Bk%7D+%5C%2C+dx+%3Dk%5Cint%5Climits+%7B%7D+%5C%2C+dx%3Dk%28x%29%2BC)
Cuidado, ésto funciona solo cuando n ES DISTINTO DE (-1), ahí ya no funciona....
sabiendo por ahora éstas cosas....integremos..
![\int\limits {(x-1) } \, dx =(\int\limits {(x) } \, dx+\int\limits {(-1) } \, dx)= \frac{ x^{2} }{2} +(-1)\int\limits { \, dx= \frac{ x^{2} }{2} -x+C \\ \\ \int\limits {(x-1) } \, dx =(\int\limits {(x) } \, dx+\int\limits {(-1) } \, dx)= \frac{ x^{2} }{2} +(-1)\int\limits { \, dx= \frac{ x^{2} }{2} -x+C \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits+%7B%28x-1%29+%7D+%5C%2C+dx+%3D%28%5Cint%5Climits+%7B%28x%29+%7D+%5C%2C+dx%2B%5Cint%5Climits+%7B%28-1%29+%7D+%5C%2C+dx%29%3D+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%2B%28-1%29%5Cint%5Climits+%7B++%5C%2C+dx%3D+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D+-x%2BC+%5C%5C++%5C%5C+)
y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...
Note: no te olvides de la constante de integración...(bajan nota por eso...:()
Integrar
Bueno lo que primero si te das cuenta es que en el numerador tenemos un caso de factoreo, que se llama diferencia de cuadrados...
apliquemos ésto al numerador...así..
entonces nuestra integral quedaría así
y ésto ya está un poco más bonito de integrar...
recordemos algunas propiedades de las integrales..
Éstas propiedades lo que nos garantiza, es que la integral de una varias funciones, es igual a la integral de los términos de esa función...y la segunda nos garantiza que si k pertenece a los reales, entonces k es una constante, y por lo tanto podemos sacarle de la integral...incluso con el signo..además...dos cosas mas
Cuidado, ésto funciona solo cuando n ES DISTINTO DE (-1), ahí ya no funciona....
sabiendo por ahora éstas cosas....integremos..
y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...
Note: no te olvides de la constante de integración...(bajan nota por eso...:()
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