Question

Alguien me ayuda a resolverlo?
Llevo horas tratando de resolverlo y nada

Answer 1

Bueno lo que podemos hacer es usar una identidad trigonométrica y tratar de llegar a algo más sencillo o la otra es aplicar la derivada de un producto..usemos éste camino..

primero: 
$f(x)=sec ^{2} (x)tan ^{2} (x) \\ f`(x)=(sec ^{2} (x))`(tan ^{2} (x))+(sec ^{2} (x))(tan ^{2} (x)) \\ f`(x)=((sec(x)) ^{2} )`tan ^{2} (x)+sec ^{2} (x)((tan(x)) ^{2} )`$

Ahora tenemos que derivar usando la cadena...para que lo puedas ver mejor y entenderlo...vamos a ponerle un nombre a parte de AFUERA así
$sec(x)=u \\ sec ^{2} (x)= u^{2} \\ \\ Ademas: \\ tan(x)=m \\ tan ^{2} (x)= m^{2}$

solo los hemos puesto otro nombre...no ha pasado nada mágico...entonces nos quedaría así...claro está que vamos a cambiar el nombre solo a donde necesitamos derivar lo que no se derivada no importa...

$f`(x)=(u ^{2} )`tan ^{2} (x)+sec ^{2} (x)(m ^{2} )`$
y ahora esas derivadas si sabemos verdad??...fíjate que le puse otro nombre a esos términos, pero no me importo lo que esté dentro...entonces la cadena me dice, deriva lo que está por fuera y multiplica por la derivada de lo que está adentro...de lo que derivamos...

$f`(x)=2(u ^{1} )(...)`tan ^{2} (x)+sec ^{2} (x)2(m ^{1} )(...)` \\ f`(x)=2(sec(x))(...)`tan ^{2} (x)+sec ^{2} (x)2(tan(x) )(...)$

Estás de acuerdo que cuando cambiamos de nombre a esos términos, lo que derivamos fue el cuadrado de cada término...si verdad?...ahora debemos derivar "u" y "m" si verdad?...eso es lo que está dentro de lo que derivamos...ya derivamos lo de afuera que era ese cuadrado, ahora hay que derivar lo de adentro...así

$f`(x)=2(sec(x))(sec(x))`tan ^{2} (x)+sec ^{2} (x)2(tan(x) )(tan(x))` \\ f`(x)=2sec(x)tan ^{2} (x)(sec(x))`+2tan(x)sec ^{2} (x)(tan(x))`$

Ahora puedes aprenderte la derivada de la secante, y la derivada de la tangente....o puedes reducir todo a senos y cosenos para derivar senos y cosenos, ya que eso si conocemos...
vamos a derivar a parte la secante de x 

$(sec(x))`= (\frac{1}{cos(x)} )`=((cos(x)) ^{-1} )`$
mira¡...tenemos que derivar otra vez usando el método de cadena...es opcional, porque?..porque puedes usar la derivación del cociente...y nos libramos de derivar por la cadena...pero no..

$(cos(x))=r \\ (cos(x) )^{-1} =r ^{-1}$

ahora si derivemos..

$( (cos(x) )^{-1})` =(r ^{-1})`=-1( r^{-2} )=- r^{-2} (r)`=- r^{-2} (cos(x))`=... \\ \\ ...=-(cos(x)) ^{-2} (-sin(x))=sin(x)(cos(x)) ^{-2}$

Fíjate derívamos lo de afuera es decir "r al cuadrado"...y luego derivado lo de adentro es decir "r"...

a ese resultado podemos reacomodarle para que se vean mejor..
$sin(x)(cos(x)) ^{-2}= \frac{sin(x)}{cos ^{2}(x) } = \frac{sin(x)}{cos(x)cos(x)} = \frac{sin(x)}{cos(x)}( \frac{1}{cos(x)} )=tan(x) sec(x)$ 
ahora ya sabes la derivada de la secante, aprendetela, o vuelve a repetir éste procedimiento cuando no te acuerdes.

Ahora tenemos que derivar la otra que dejamos te acuerdas?
$(tan(x))'= (\frac{sin(x)}{cos(x)} ) `$

aquí usemos la derivación del cociente, en ves de la del producto como antes...

$f`(x)=( \frac{u}{v})` = \frac{u`(v)-u(v)`}{v ^{2} }$

Ésta es la fórmula, nos dice tenemos un cociente, derive la parte de arriba y multiplique por la parte de abajo, réstele la derivada de la parte de abajo por la función de arriba y todo eso divida entre la parte de abajo al cuadrado....

apliquemos ésto

$(tan(x))'= (\frac{sin(x)}{cos(x)} ) `= \frac{(sin(x))`(cos(x))-(sin(x))(cos(x))`}{(cos(x)) ^{2} } =... \\ \\ ...= \frac{cos(x)(cos(x)-sin(x)(-sin(x)))}{cos ^{2}(x) } = \frac{cos ^{2}(x)+sin x^{2} (x) }{cos ^{2}(x) } = \frac{1}{cos ^{2}(x) } =sec ^{2} (x)$ 
y ya, con ésto se demuestra la derivada de la tangente ah sido esa...aprendetela, o vas a tener que hacer ésto siempre...

ahora si volvamos al ejercicio ya sacamos las derivadas que necesitábamos:

$f`(x)=2sec(x)tan ^{2} (x)(sec(x))`+2tan(x)sec ^{2} (x)(tan(x))` \\ f`(x)=2sec(x)tan ^{2}(x) (sec(x)tan(x))+2tan(x)sec ^{2} (x)(sec ^{2}(x) ) \\ f`(x)=2sec ^{2} (x)tan ^{3} (x)+2tan(x)(sec ^{4}(x) )$

y podemos dejarla ahí....

Nota: fíjate en todo lo que hemos usado, razones trigonométricas, una identidad que es la más importante, un poco paciencia...es largo al principio, bueno es largo porque no sabes las derivadas, tocó derivar cada parte pedazo a pedazo llevando todo a senos y cosenos...y luego usar la derivación del producto o la derivación del cociente...en todo caso..practica al principio es así....pero depende de ti, ir acelerando un poquito el paso...

Nota2: mira los cambias de variables que hicimos, es decir darle otro nombre a esos términos, es muy práctico hacer eso...así te fijas cual es la función que está por AFUERA y cual es la que está DENTRO...