Question

define por extensión:
R={x€Zx²=9}

Answer 1

Bueno el conjunto que tienes ahí, está expresado por COMPRENSIÓN, es decir se ha comprimido al conjunto asignandole una ley, una condición una especie de patrón para generalizar y no escribir los elementos del conjunto.

Ahora por extensión significa que vamos a "extender" vamos a exhibir los elementos del conjunto, DESARROLLANDO  la condición, la ley, el patrón que generaliza a los elementos de ese conjunto...entonces 
primero:cuales son las condiciones de ese conjunto?..

bueno nos dice que el elemento "x" debe pertenecer a los ENTEROS para poder ser admitido en ese conjunto, ES DECIR UN RACIONAL NO PUEDE ENTRAR AHÍ, UN IRRACIONAL TAMPOCO PUEDE ENTRAR AHÍ.....si recuerdas los enteros...es el conjunto de número conformados por los número naturales UNIDO con los inversos aditivos de los números naturales...es decir...consta de enteros positivos y enteros negativos...es decir si el 2 pertenece a los enteros entonces el -2 también pertenece...el (2) es un natural, su inverso aditivo es el (-2) por eso los enteros es el conjunto de los naturales unidos con los inversos aditivos de los naturales.

Ahora la segunda condición nos dice que 

$x^{2} =9 \\ \sqrt{x} = \sqrt{9} \\ x=3 \\ x=-3$ 
espero estés de acuerdo con ésto...ahora ya tenemos dos elementos veamos cuales cumplen con las dos condiciones, obviamente cumplen con la segunda verdad?...porque son raíces....el 3 pertenece a los enteros?...si verdad...entonces éste número si tiene permiso de entrar al conjunto...veamos el otro...el -3 pertenece a los enteros?...si verdad...entonces éste también puede entrar...entonces el conjunto 

$R= \left \{ x (pertence)Z: x^{2} =9\}$ 
ésto a sido igual a decir que 

$R= \left \{ +2,-2\}$

y se acabó...

Nota: fíjate lo importante es que ver cada condición que nos dice el conjunto..si hubiera dicho "x pertenece a los Naturales"...y la segunda condición sea la misma...entre el -3 y 3 cual de éstos tiene permiso de entrar??...solo el 3 verdad??..por que el conjunto de números naturales solo son positivos¡..
Nota 2: la razón por la que la raíz de x nos, arrojó esos dos valores es que al momento de sacar la raíz a ambos lados SIEMPRE nos queda VALOR ABSOLUTO DE "x" CUIDADO¡...es decir la respuesta de una cuadrática tiene dos valores una parte negativa y la otra positivo, de ahí tenemos que escoger la que nos convenga o necesitemos...

Espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas....