∠XY denota el ángulo entre los vectores X y Y de R¹⁰, entonces, ¿∠XY es el único número entre 0 y Pi tal qué ?
CarlosMath:
tal qué...?
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Sea
el ángulo entre los vectores
y ![\vec Y \vec Y](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec+Y)
1) Ley de cosenos
![\left\|\vec X + (-\vec Y)\right\|^2 =\left\|\vec X\right\|^2+\left\|-\vec Y\right\|^2+2\left\|\vec X\right\|\left\|-\vec Y\right\|\cos (\pi-\theta)\\ \\ \\
\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2 =\left\|\vec X\right\|^2+\left\|\vec Y\right\|^2-2\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta \left\|\vec X + (-\vec Y)\right\|^2 =\left\|\vec X\right\|^2+\left\|-\vec Y\right\|^2+2\left\|\vec X\right\|\left\|-\vec Y\right\|\cos (\pi-\theta)\\ \\ \\
\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2 =\left\|\vec X\right\|^2+\left\|\vec Y\right\|^2-2\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X+%2B+%28-%5Cvec+Y%29%5Cright%5C%7C%5E2+%3D%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5E2%2B%5Cleft%5C%7C-%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5E2%2B2%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5Cleft%5C%7C-%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5Ccos+%28%5Cpi-%5Ctheta%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%0A%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5E2+%3D%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5E2%2B%5Cleft%5C%7C%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5E2-2%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5Cleft%5C%7C%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5Ccos+%5Ctheta)
2) Note que![\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2=\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) \left\|\vec X -\vec Y\right\|^2=\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5E2%3D%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29)
- Ley distributiva del producto escalar con respecto a la diferencia
![\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\left(\vec X -\vec Y\right)\cdot \vec X-\left(\vec X -\vec Y\right)\cdot\vec Y\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\left(\vec X\cdot \vec X-\vec Y\cdot \vec X\right)-\left(\vec X\cdot \vec Y-\vec Y\cdot\vec Y\right)\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-\vec Y\cdot \vec X-\vec X\cdot \vec Y \left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\left(\vec X -\vec Y\right)\cdot \vec X-\left(\vec X -\vec Y\right)\cdot\vec Y\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\left(\vec X\cdot \vec X-\vec Y\cdot \vec X\right)-\left(\vec X\cdot \vec Y-\vec Y\cdot\vec Y\right)\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-\vec Y\cdot \vec X-\vec X\cdot \vec Y](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29+%3D%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Ccdot+%5Cvec+X-%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Ccdot%5Cvec+Y%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29+%3D%5Cleft%28%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+X-%5Cvec+Y%5Ccdot+%5Cvec+X%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y-%5Cvec+Y%5Ccdot%5Cvec+Y%5Cright%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29+%3D%5Cvec+X%5E2%2B%5Cvec+Y%5E2-%5Cvec+Y%5Ccdot+%5Cvec+X-%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y)
- El producto escalar entre vectores es (un operador) conmutativo
![\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-\vec X\cdot \vec Y-\vec X\cdot \vec Y\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)\\ \\ \\
\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2=\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right) \left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-\vec X\cdot \vec Y-\vec X\cdot \vec Y\\ \\ \\
\left(\vec X -\vec Y\right)\left(\vec X -\vec Y\right) =\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)\\ \\ \\
\left\|\vec X -\vec Y\right\|^2=\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29+%3D%5Cvec+X%5E2%2B%5Cvec+Y%5E2-%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y-%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29%5Cleft%28%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%29+%3D%5Cvec+X%5E2%2B%5Cvec+Y%5E2-2%5Cleft%28%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y%5Cright%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X+-%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5E2%3D%5Cvec+X%5E2%2B%5Cvec+Y%5E2-2%5Cleft%28%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y%5Cright%29)
3) Por (1):
![\vec X^2+\vec Y^2-2\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta=\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)\\ \\ \\
\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta=\vec X\cdot \vec Y\\ \\ \\
\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec X\cdot \vec Y}{\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|}} \vec X^2+\vec Y^2-2\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta=\vec X^2+\vec Y^2-2\left(\vec X\cdot \vec Y\right)\\ \\ \\
\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|\cos \theta=\vec X\cdot \vec Y\\ \\ \\
\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec X\cdot \vec Y}{\left\|\vec X\right\|\left\|\vec Y\right\|}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec+X%5E2%2B%5Cvec+Y%5E2-2%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5Cleft%5C%7C%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5Ccos+%5Ctheta%3D%5Cvec+X%5E2%2B%5Cvec+Y%5E2-2%5Cleft%28%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y%5Cright%29%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5Cleft%5C%7C%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%5Ccos+%5Ctheta%3D%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Ccos+%5Ctheta+%3D+%5Cdfrac%7B%5Cvec+X%5Ccdot+%5Cvec+Y%7D%7B%5Cleft%5C%7C%5Cvec+X%5Cright%5C%7C%5Cleft%5C%7C%5Cvec+Y%5Cright%5C%7C%7D%7D)
1) Ley de cosenos
2) Note que
- Ley distributiva del producto escalar con respecto a la diferencia
- El producto escalar entre vectores es (un operador) conmutativo
3) Por (1):
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