Question

Los vértices de un triangulo son A(-4,1) B(2,7) C(-2,-3). Si D es el punto medio del AB y E es el punto medio del lado BC demuestra que la longitud de DE es la mitad de la longitud del AC.

Answer 1

Respuesta:

El álgebra vectorial resuelve este problema en forma simple

Las coordenadas del punto D son x = (-1+3)/2 = 1;y = (3+5)/2 = 4

Las del punto E son x =(3+7)/2 = 5; y = (5 -1)/2 = 2

D(1, 4); E(5, 2)

Ahora los vectores.

AC = (7, -1) - (-1, 3) = (8, -4)

El vector DE = (5, 2) - (1, 4) =  (4, -2)

Como se observa las coordenadas del vector DE son las mitades de las del vector AC

Además se observa que el vector DE y AC son paralelos.

Adjunto un gráfico.

Saludos Herminio

Explicación paso a paso:

Answer 2

La longitud del segmento DE vale 2,235 lo que, efectivamente, equivale a la mitad de la longitud del segmento AC, 4,47.

Características de una línea recta.

Dentro de las características de una línea recta, en la tarea presente hacemos uso de dos características en particular para lograr comprobar el supuesto que DE = ¹/₂AC (ver figura adjunta). Estas características son:

• el cálculo de la longitud de una recta entre dos puntos en el plano cartesiano mediante la fórmula:

     

        $\displaystyle\bf{d(X,Y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\hspace{20}(1)$

• el cálculo de las coordenadas del punto medio de una recta en el plano cartesiano mediante la fórmula:

       $\displaystyle\bf{(XY)_m=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\hspace{36}(2)$

Pasos para la resolución.

1. Cálculo de la longitud AC; aplicando la ecuación (1) al segmento AC, se tiene:

$\displaystyle d(A,C)}=\sqrt{(1-(-3))^2+(-4-(-2))^2}=\sqrt{(1+3)^2+(-4+2)^2}=\\\\\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=4,47$

2. Cálculo de las coordenadas del punto D; aplicando la ecuación (2) al segmento AB, se tiene:

$\displaystyle D=(AB)_m=\left(\frac{-4+2}{2},\frac{1+7}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2},\frac{8}{2}\right)=\left(-1,4\right)$

3. Cálculo de las coordenadas del punto E; aplicando la ecuación (2) al segmento BC, se tiene:

$\displaystyle E=(BC)_m=\left(\frac{2+(-2)}{2},\frac{7+(-3)}{2}\right)=\left(\frac{0}{2},\frac{4}{2}\right)=\left(0,2\right)$

4. Cálculo de la longitud DE; aplicando la ecuación (1) al segmento DE, se tiene:

$\displaystyle d(D,E)}=\sqrt{(-1-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(-1)^2+(2)^2}=\sqrt{5}=2,235$

5. Cómo d(D,E) = ¹/₂AC = ¹/₂(4,47) = 2,235, se comprueba el supuesto.

Para saber más sobre rectas, visita:

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