Question

8. Un tren sale de una estación y viaja a 40 km/h en una vía recta; otro tren sale de la misma estación 2 horas más tarde, sobre otra vía que forma con la anterior un ángulo de 120º, si el segundo tren viaja a 50 km/h, halle la distancia aproximada entre los dos trenes 5 horas después de la salida del primer tren.​
A. 300 km
B. 304 km
C. 306 km
D. 308 km
E. 310 km
es para hoy xf

Answer 1

La distancia aproximada entre los dos trenes 5 horas después de la salida del primer tren es de 304 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa la estación desde donde salieron las dos trenes con rumbos distintos, donde el lado BC (a) representa la trayectoria del Tren 1 y el lado CA (b) la trayectoria del Tren 2 donde ambos recorridos forman un ángulo de 120°.

Donde el segundo tren sale 2 horas más tarde que el primero

Se pide hallar la distancia que separa a los dos trenes 5 horas después de la salida del primer tren (Tren 1)

Hallamos la distancia recorrida para cada uno de los trenes para 5 horas después de la salida del primero

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ .\ Tiempo } }$

Para el Tren 1

El cual salió primero y lleva 5 horas de viaje

$\boxed {\bold { Distancia_{\ 1} = 40 \frac{km}{\not h} \ .\ 5\ \not h = 200 \ km} }$

Para el Tren 2

Al salir 2 horas después que el primero lleva 3 horas de viaje

$\boxed {\bold { Distancia_{\ B} = 50 \frac{km}{\not h} \ .\ 3\ \not h = 150 \ km} }$

Habiendo hallado la distancia recorrida por cada uno de los trenes  podemos hallar la distancia que los separará para 5 horas después de la salida del primer tren

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallando la distancia que separa a los dos trenes después de la salida del primer tren

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = ( 200 \ kmi)^{2} + (150 \ km)^{2} - 2 \ . \ 200 \ km \ . \ 150 \ km\ . \ cos(120)^o }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 40000 \ km^{2} + 22500 \ km^{2} -60000 \ km^{2} \ . \ cos(120)^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 120 grados es } \bold -{\frac{ 1 } { 2 } }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 62500\ km^{2} - 60000 \ km^{2} \ . \ -0.5 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 62500\ km^{2} + 30000 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 92500 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 92500 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 92500 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 304.14 \ km}}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 304\ km}}$

La distancia aproximada entre los dos trenes 5 horas después de la salida del primer tren es de 304 kilómetros

Se adjunta gráfico