una forma en la que sin el uso de calculadora podamos aproximar el valor de una raíz utilizando derivadas
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Respuesta:
En una función que no es lineal podemos derivar la función en un punto para obtener la pendiente de una recta que podemos utilizar en lugar de la propia función para obtener valores aproximados en un entorno pequeño de ese punto. Es lo que se denomina "linealizar la función". Eso significa que si conocemos el valor exacto de la función en un punto podemos encontrar el valor aproximado de un punto próximo mediante una simple función lineal.
Dicho de otro modo diferente:
dy / dx ≈ Δy / Δx
Lo cual será cierto cuanto más pequeños sean los incrementos. De hecho los diferenciales son incrementos infinitesimales.
Por tanto:
Δy ≈ (dy / dx)Δx
=> Δy ≈ y'Δx
f(x₀ + Δx) = f(x₀) + Δy
=> f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + y'Δx
Por ejemplo, queremos conocer la raíz cuadrada de 26. Podemos ver al 26 como 25 + 1, donde:
x₀ = 25 (que tiene raíz exacta)
Δx = 1
1 es un valor pequeño frente a 25, de modo que podemos dar por válida la identificación con un valor diferencial para hacer la aproximación.
f(x) = √x
y' = f'(x) = 1/(2√x)
Por tanto:
√(25 + 1) ≈ √25 + 1/(2√25)·1
=> √26 ≈ 5 + 1/10
=> √26 ≈ 5,1
Si lo compruebas en la calculadora verás que el error es próximo al 0,02%, o sea, muy pequeño.
Gráficamente esto se ve de forma más clara, pero tendrás que imaginártelo.