Question

La estatura de mujeres adultas en cierta región tiene una distribución
normal cuya media es de 160 cm, con desviación estándar de 3 cm.
¿Qué probabilidad hay de elegir una mujer que tenga estatura entre 158
y 163 cm?​

Answer 1

Respuesta:

Determinamos que las mujeres con estatura entre 158 y 163 cm.

Representan un porcentaje de 77% de todas las tallas.

Datos:

Media: μ = 160 cm.

Desviación estándar: Ds = 2 cm.

P(158 < X < 163) = ¿?

Procedimiento:

Para calcular la probabilidad debemos estandarizar los parámetros, sabiendo que esta tiene una distribución normal. Para eso calculamos los valores de Z:

\boxed{Z = \frac{X - \mu}{Ds} }Z=DsX−μ

Z_1 = \frac{158-160}{2} = -1Z1=2158−160=−1 y  Z_2 = \frac{163-160}{2} = 1,5Z2=2163−160=1,5

De esta forma, ya estandarizada sabemos que debemos determinar la probabilidad de P(-1 < Z < 1,5). Para determinar los valores de probabilidad, usamos una tabla de distribución normal estandarizada Z o en el Excel usando la siguiente formula =DISTR. NORM. ESTAND. N(-1;VERDADERO).

Así tenemos que los valores de probabilidad para P(-1 < Z) = 0,1587 y para P(Z < 1,5) = 0,9332. Pero hay que hacer un par de procedimientos para conocer la probabilidad que necesitamos:

1. P(-1 < Z) representa los valores de la curva que están por debajo, en el lado izquierdo de la distribución. Necesitamos conocer los valores que está al lado derecho de la distribución para eso lo restamos a uno: 1 - 0,1587 = 0,8413. Este último valor es el 100% del área que está debajo de la curva, sólo necesitamos conocer el 50% del área bajo la curva para sumarlo a la probabilidad de Z₂. Para eso hacemos le restamos 0,5: 0,8413 - 0,5 = 0,3413.

2. P(Z < 1,5) representa los valores de la curva que están por debajo, en el lado izquierdo de la distribución. Como este valor es el 100% del área que está debajo de la curva, sólo necesitamos conocer el 50% del área bajo la curva para sumarlo a la probabilidad de Z₁. Para eso hacemos le restamos 0,5: 0,9332 - 0,5 = 0,4332.

Finalmente sumamos las probabilidades:

P(158 < X < 163) = P(-1 < X < 1,5) = 0,3413 + 0,4332 = 0,7745 ≈ 77%