Question

Derivada de la función
F(x) = 3 senx

Answer 1

Bueno lo primero que tienes que hacer es darte cuenta que esa expresión es una multiplicación es decir podemos derivar utilizando la propiedad del producto de derivadas...Y otro camino se trata de la síntesis o la moraleja de derivar usando el producto, es decir el 3 es una constante, entonces la ignoramos...y derivamos solo el seno...

La derivada del seno es el coseno, puedes demostrar ésto a través de la definición de derivada..para que veas que no te miento...voy a demóstrartelo...

La definición de derivada es súper útil cuando aún no sabes  o no te aprendes las derivadas de éstas funciones...lo único que necesitas es ser astuta para desarsernos de la indeterminación que se produce es ésta...

$\lim_{h \to \(0} f(x) = \lim_{h \to \(0} f(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}$ 
Entonces si te fijas, si hacemos ese límite nos va a quedar un cero en el denominador y eso no existe entonces...hay que un poco astuto para eliminar esa "h", ahora podemos usar las propiedades de la geoemtría

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$ aplicando ésto nos quedaría así..también vamos a aplicar la propiedad de los límites que nos dice que el límite de una función va a ser igual a la límite de cada una de sus términos....
$f`(x)= \lim_{h \to \(0} \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h} = \frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h} =... \\ ...= \frac{sin(x)cos(h)-sin(x)+sin(h)cos(x)}{h} = \frac{sin(x)(cos(h)-1)+sin(h)cos(x)}{h}=... \\ ...= (\frac{sin(x)(cos(h)-1)}{h})+ (\frac{sin(h)cos(x)}{h})=... \\ = \lim_{h \to \(0}(\frac{sin(x)(cos(h)-1)}{h})+ \lim_{h \to \(0} (\frac{sin(h)cos(x)}{h})$

Ahora, ya que agrupamos, y aplicamos la propiedad de los límites..hay que jugar un poco, ésto se trata de jugar y ser capáz de aplicar todo lo que sepas..

$f`(x)= \lim_{h \to \(0} f(x) = \lim_{h \to \(0}(\frac{sin(x)(cos(h)-1)}{h})+ \lim_{h \to \(0} (\frac{sin(h)cos(x)}{h})= \\ ..$ 

ahora vamos a trabajar en el primer paréntesis y vamos a multplicarle por un número inteligente...

$sin(x) \frac{cos(h)-1}{h}( \frac{cos(h)+1}{cos(h)+1} ) =sin(x) \frac{cos ^{2}(h)-1 }{h(cos(h)+1)} =sin(x) \frac{-sin ^{2}(h) }{h(cos(h)+1)} =... \\ ...=sin(x) (\frac{sin(h)}{h} ( \frac{-sin(h)}{cos(h)+1} ))$

Ahora adjuntemos ésto en lo que teníamos antes.

$f`(x)= \lim_{h \to \(0} f(x) = \lim_{h \to \(0}(\frac{sin(x)(cos(h)-1)}{h})+ \lim_{h \to \(0} (\frac{sin(h)cos(x)}{h}) \\ =sin(x) (\frac{sin(h)}{h} ( \frac{-sin(h)}{cos(h)+1} ))+ \frac{sin(h)cos(x)}{h} =... \\ ...= sin(x)\lim_{h \to \(0} \frac{sin(h)}{h} \lim_{h \to \(0} -\frac{sin(h)}{cos(h)+1}+cos(x) \lim_{h \to \(0} \frac{sin(h)}{h}$

ahora un límite que TIENES que sabertelo, es que

$\lim_{h \to \(0} \frac{sin(h)}{h} =1$ 
sabiendo ésto la anterior nos quedaría así...

$...= sin(x)\lim_{h \to \(0} \frac{sin(h)}{h} \lim_{h \to \(0} -\frac{sin(h)}{cos(h)+1}+cos(x) \lim_{h \to \(0} \frac{sin(h)}{h}=... \\ ...=sin(x)(1)( -\frac{sin(0)}{cos(0)+1} )+cos(x)(1)=... \\ ...=sin(x)(1)( -\frac{0}{1+1} )+cos(x)=... \\ ...=sin(x)(1)(0)+cos(x)= \\ ...=cos(x) \\ f`(x)= \lim_{h \to \(0} \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h} =cos(x)$

y ya, ésto solo es la demostración de que la derivada del seno es el coseno...no te asustes...entonces para no hacer todo ésto (divertido), es mejor aprenderse esa derivada verdad?...
ahora si como dijimos al comienzo puedes derivar ésto usando el producto

$f(x)=(3)(sin(x)) \\ f`(x)=(3)`(sin(x))+(3)(sin(x))`$ 
derivada de (3) es cero porque es una constante entonces se anula el primer término, y como ya vimos la derivada del seno es el coseno

$f`(x)=0+3cos(x) \\ f`(x)=3cos(x)$  
y eso sería todo, la moraleja que mencioné al comienzo es que no es necesario hacer la derivación del producto, como ves el 3 se mantuvo entonces la moraleja es que mantenemos la constante y derivamos la función...y nos ahorramos derivar usando el producto...

Nota: todo éste procedimiento es para que te des cuenta que, tienes varios caminos para derivar algo, sea usando la definición de derivada, o aprenderte...Ojo, para usar la definición viste que tuvimos que hace uso de la geometría y algunas identidades trigonométricas, para usar la definición debes usar todo lo que sepas..usar las herramientas del álgebra, geometría...y en una prueba si no te acuerdas...la definición nos salva...:D