Question

Cuál es la altura de un árbol que arroja una sombra de 20 m de longitud, cuando el sol está elevado a 37 grados 30 minutos sobre el horizonte​

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 15.347 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del árbol , el lado BC que representa la sombra del árbol y el lado AC que es la longitud visual a la proyección de los rayos solares, con un ángulo de elevación de 37°30'

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Convertimos los grados y minutos a grados decimales

$\bold {Angulo \ de \ elevacion = 37^o \ 30 '= 37,5 ^o }$

Conocemos la sombra del árbol y de un ángulo de elevación de 37,5°

• Sombra del árbol = 20 metros

• Ángulo de elevación = 37.5°

• Debemos hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC = sombra del árbol), asimismo conocemos un ángulo de elevación al sol de 37,5° y debemos hallar la altura del árbol, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(37.5)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(37.5)^o = \frac{altura \ del \ arbol }{ sombra\ del \ arbol } }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol=sombra\ del \ arbol \ . \ tan(37.5)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol=20 \ metros \ . \ tan(37.5)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol=20 \ metros \ . \ 0.7673269879789 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol \approx 15. 34653 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del \ arbol \approx 15. 347 \ metros }}$

La altura del árbol es de aproximadamente 15.347 metros