Question

obtén la ecuación general de la circunferencia, que tiene los extremos de uno de sus diámetros en las intersecciones de la recta 2x-3y+12=0 con los ejes coordenados.
Me ayudan porfa​

Answer 1

Explicación paso a paso:

El procedimiento que vamos a seguir será el siguiente:

Si la recta 2x - 3y + 12 = 0 es el diámetro de la circunferencia y la circunferencia pasa por los puntos donde dicha recta cruza a los ejes coordenados, es necesario encontrar estos puntos, obtener las coordenadas del punto medio del diámetro, el cual será el centro de la circunferencia, y la distancia entre el centro y cualquiera de estos puntos, el cual será el radio de la circunferencia.

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Para encontrar los puntos en los que la recta cruza a los ejes coordenados, debemos transformar la ecuación de la recta a la forma:

$\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1$

donde:

a = absisa en el origen, coordenada (a,0)

b = ordenada en el origen, coordenada (0,b)

Teniendo la ecuación de la recta en la forma general, debemos pasar el término independiente al lado derecho de la igualdad:

2x - 3y + 12 = 0

2x - 3y = -12

Ahora, para que el resultado quede igual a 1, debemos dividir toda la ecuación entre el término independiente (incluido el signo):

$\frac{2x}{-12}-\frac{3y}{-12}=\frac{-12}{-12}$

Simplificando:

$\frac{x}{-6}+\frac{y}{4}=1$

Ya tenemos la ecuación de la recta en la forma $\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1$, donde a = -6 y b = 4, es decir, las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados son: A(-6,0) y B(0,4).

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Para obtener el punto medio del diámetro, utilizaremos la siguiente fórmula:

C(h , k)

h = $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

k = $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

donde:

C(h,k) = coordenadas del centro de la circunferencia.

x₁ = -6   ; y₁ = 0       (coordenadas del punto A)

x₂ = 0   ; y₂ = 4       (coordenadas del punto B)

Sustituyendo:

h = $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$                               k = $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

h = $\frac{-6+0}{2}$                                k = $\frac{0+4}{2}$

h = -3                                    k = 2

Por lo tanto, las coordenadas del centro de la circunferencia son C(-3 , 2).

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La distancia entre cualquiera de los punto A o B y C (el centro de la circunferencia), será el radio de la misma. Esta distancia se obtiene con la fórmula:

r² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²

donde:

r = radio de la circunferencia

x₁ = 0   ; y₁ = 4         (coordenadas del punto B)

x₂ = -3  ; y₂ = 2        (coordenadas del punto C, centro de la circunferencia)

Sustituyendo, tenemos:

r² = (0 + 3)² + (4 - 2)²

r² = (3)² + (2)²

r² = 9 + 4

r² = 13

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Ya conocemos las coordenadas del centro de la circunferencia (h, k) y el radio de la misma , por lo tanto podemos obtener la ecuación de la circunferencia:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Sustituyendo, tenemos:

(x - (-3))² + (y - (2))² = (13)

(x + 3)² + (y - 2)² = 13    ====> Solución

Desarrollando los binomios, encontraremos la forma general de la ecuación de la circunferencia:

(x² + 6x + 9) + (y² - 4y + 4) = 13

x² + y² +6x - 4y + 13 = 13

x² + y² +6x - 4y + 13 - 13 = 0

x² + y² +6x - 4y = 0    ====> Solución