Question

Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 15 pies (ft) apoyada inclinadamente sobre la pared si la parte inferior de la escalera está situada 12 pies (ft) de la pared.

Answer 1

La altura que se puede alcanzar con la escalera es de 9 pies (ft)

Solución

Se desea hallar la altura que se puede alcanzar con una escalera que está apoyada sobre una pared donde se conocen la longitud de la escalera y la distancia de la parte inferior de la escalera a la pared

En donde la distancia de la parte inferior de la escalera a la pared sería un cateto, y la longitud de la escalera la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Luego

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} = hipotenusa^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Donde emplearemos la notación habitual para los triángulos rectángulos donde "a" y "b" son los catetos y "c" la hipotenusa

Llamaremos "a" a su altura que se puede alcanzar con la escalera - que es nuestra incógnita-

$\large\textsf{Altura Pared = a }$    

Llamaremos "b" a la distancia del pie de la escalera a la pared

$\large\textsf{Distancia Escalera a la Pared = b = 12 ft }$

Y a la longitud de la escalera "c"

$\large\textsf{Longitud de la Escalera = c = 15 ft}$

Aplicando el teorema de Pitágoras para hallar la altura que se alcanza con la escalera

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = ( 15\ ft )^{2} \ - \ ( 12\ ft )^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 225 \ ft^{2} \ - \ 144 \ ft^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 81 \ ft^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{81 \ ft^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{81 \ ft^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a = 9 \ ft }}$

La altura que se puede alcanzar con la escalera es de 9 pies (ft)