Question

ayuda por favor con estos otros ejercicios de integrales, con procedimiento

ejercicio (ver imagen)

Answer 1

1. $\int{3ay^2\ dy} = 3a\int{y^2\ dy} = 3a\cdot \frac{y^{2+1}}{2+1} + C = ay^3 + C$

2. $\int 2t^{-2}\ dt = 2\cdot \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{2t^{-1}}{-1} + C = \frac{-2}{t} + C$

3. $\int \sqrt{ax} = a^{1/2}\int x^{1/2} = a^{1/2}\cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = a^{1/2}\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2x}{3}\sqrt{ax} + C$

4. No es inmediata sino que hay que hacerla por sustitución. Llamamos t = 2x, por lo tanto dt = 2dx ; $dx = \frac{dt}{2}$:

$\int \frac{dt}{2}\cdot t^{-1/2} = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = t^{1/2} + C$

Sólo queda deshacer el cambio: $\sqrt{2x} + C$

5. Se hace también por sustitución, aunque el resultado que yo obtengo no es el mismo que aparece en la imagen. Llamo u = 3t y por lo tanto $dt = \frac{du}{3}$. La integral queda como:

$\int{^3\sqrt{u}\cdot \frac{du}{3}} = \frac{1}{3}\int u^{1/3}du$

Ahora sí es una integral inmediata:

$\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} = \frac{u^{4/3}}{4} + C$

Deshacemos el cambio:

$\frac{^3\sqrt{3^4t^4}}{4} = \bf \frac{3^3\sqrt{3t^4}}{4} + C$