Respuestas
El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe y se define del siguiente modo:
Observa la recta numérica:
Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:
|+3| = | -3 | = 3
Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.
El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Propiedades de clausura
Si existen tales que:
y, de esto,
De la clausura de la adición sobre se sigue, por definición, que
Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad
Para cualesquiera
Lo mismo cumple la multiplicación sobre
Para cualesquiera
Propiedades asociativas
Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:
Para cualesquiera
y
Para cualesquiera
Propiedades conmutativas
Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera tenemos que
Para cualesquiera
Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la multiplicación:
Para cualesquiera
Propiedad distributiva
Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos
=
= =
=
=
Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva
Para cualesquiera
Existencia de elementos neutros
El cero, 0 = [(n,n)], tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],
y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos de donde por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre En
para todo términos más sencillos,
Se define como sigue:
Vemos que, para todo entero [(a,b)],
y, puesto que resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre Es decir,
para todo pt.
a+b _ c
Existencia de elemento opuesto
Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:
Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como que cumple obviamente la propiedad anterior:
Unicidad del elemento opuestoAdemás este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y entonces sucede que:
En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.
Propiedades cancelativas
Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:
Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa
Para todo
Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues y ab = ac con Tenemos que ab - ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b - c) = 0, o sea que b - c = 0, lo que demuestra que b = c.
Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:
Para todo con
Propiedades de orden
Si a = b Entonces b = a
Propiedad reflexiva del ordena = a
Propiedad antisimétrica del ordenSi a = b y b = a, entonces a = b.
Propiedad transitiva del ordenSi a < b y b < c, entonces a < c.
Compatibilidad del orden con las operacionesSi a = b entonces a+c = b+c,
para todo c
y si c = 0, con a = b entonces a c = b c
Propiedad o axioma de la buena ordenación
Sea S un subconjunto no vacío de Z, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es mayor que todos los elementos del conjunto S.
ORDEN EN Z
En la representación de los enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero.