Question

Una circunferencia está inscripta en un cuadrado, y su ecuación general es:
X2+Y2+4X-6Y+3:0
a) El diámetro de la circunferencia mide exactamente, en cm:
b) La diagonal del cuadrado mide exactamente, en cm:
c) El perímetro del cuadrado es, en cm:
d) La superficie (aproximada por redondeo al orden del décimo) comprendida entre el cuadrado y el círculo encerrado por la circunferencia dada es:

Answer 1

Bien abajo te dejo la primera imagen que es para que te des cuenta que significa "inscrito y circunscrito"...

Ahora, la ecuación que nos dan es la GENERAL ésta no nos dice mucho, entonces debemos transformarla en la fórmula canónica...es decir vamos a completar los cuadrado de cada uno...

$x^{2} + y^{2}+( A^{2}-A^{2})+(B^{2}-B<span>^{2})</span>+4x-6y+3=0$

Ahora, agrupemos y vamos a completar e cuadrado de cada uno así

$( x^{2} +4x+ A^{2})+( y^{2} -6y+ B^{2})- A^{2}- B^{2} +3=0$
Te parece si sumamos el cero no va a pasar nada verdad?...entonces A al cuadrado menos A al cuadrado es cero..entonces no pasa nada....lo mismo hacemos para el B al cuadrado sumamos y restamos B al cuadrado para que no se cambie el sentido de la igualdad...y agrupamos...
Ahora, si recuerdas un poco de factores lo que tenemos en cada paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto pero necesitamos saber cuánto vale el A y el B

entonces para el primer paréntesis..

tenemos que aplicar lo siguiente...$(a^{2} -2ab+ b^{2} )=(a-b) ^{2} \\ (a^{2} +2ab+ b^{2} )=(a+b) ^{2}$

entonces tenemos
$( x^{2} +4x+ A^{2})+( y^{2} -6y+ B^{2})- A^{2}- B^{2} +3=0 \\ \\ ( x^{2} +4x+ A^{2}) \\ raiz del primero =x \\ raiz del tercero=A \\ el doble producto de estos=(2xA)$

pero el doble producto ya tenemos dice que vale "4x"
$2xA=4x \\ A=2$

lo mismo para el segundo paréntesis...

$( y^{2} -6y+ B^{2}) \\ raiz del primero=y \\ raiz del tercero=B \\ doble producto de estos=2yB$

pero el doble producto de éste ya sabemos cuanto vale...=-6y

$2yB=-6y \\ B=-3$ 
y listo entonces nos quedaría así

$:( x^{2} +4x+ A^{2})+( y^{2} -6y+ B^{2})- A^{2}- B^{2} +3=0 \\ :( x^{2} +4x+ (2)^{2})+( y^{2} -6y+ (-3)^{2})- (2)^{2}- (-3)^{2} +3=0 \\ :(x+2 )^{2} +(y-3) ^{2} -4-9+3=0 \\ :(x+2 )^{2} +(y-3) ^{2} =10$

Con ésto hemos concluído y encontrado la ecuación canónica de la circunferencia, ésta ya nos proporciona la información de donde está el centro y cual es su radio...ahora es muy fácil caerse aquí, ay que tener cuidado,  vamos a comparar con la fórmula de la ecuación de una circunferencia...cualesquiera..

$(x-h) ^{2} +(y-k) ^{2} = r^{2}$ si la comparamos con lo que tenemos nosotros..

$: (x-h) ^{2} +(y-k) ^{2} = r^{2} \\ :(x+2 )^{2} +(y-3) ^{2} =10$

Fijate que el signo del primer parétensis no es el mismo que el que nos dice la fórmula ésto significa lo siguiente

$:(x-(-2) )^{2} +(y-3) ^{2} =10$ ahí si ya se parece...entonces saquemos los datos que nos da..

$centro:(-2,-3) \\ radio: \sqrt{10}$ 

Ya con éstos vamos resolviendo lo que nos pide el problema..

$1)diametro=2(radio) \\ \\ diametro=2( \sqrt{10} ) \\ diametro=2 \sqrt{10}$ y ésto es aproximadamente 6.32cm

y ya, ahora vamos a la segunda imagen....y eso sería todo....espero te sirva y si tienes alguna me avisas...